Uma cônica com foco no polo tem excentricidade e=1 e vértice em (-1,0). Escreva a equação da cônica na forma polar. Esboce o gráfico da cônica.

Passo 1

O enunciado pede a equação polar de uma cônica com foco no polo (origem), excentricidade ,e=1 (logo uma parábola) e vértice em (-1,0). Para isso vamos usar a forma geral da cônica em coordenadas polares com foco na origem, entender como escolher o sinal no denominador para orientar a parábola e ajustar o parâmetro d de modo que o vértice fique em (-1,0).

Passo 2

Em coordenadas polares, uma cônica com foco no polo e excentricidade e tem equação
r ;=;e,d1 + ecos(theta-theta0),
onde a reta diretora está a uma distância d do foco e faz ângulo theta0 com o eixo O x. No nosso caso e=1 e queremos a diretora vertical à esquerda do foco, ou seja a reta x=-d. Isso corresponde a usar
r = d1 - costheta,
pois aqui o denominador se anula quando costhetato1 (diretriz “atrás” da origem) e atinge valor máximo quando theta=pi (vértice à esquerda).

Passo 3

O vértice da parábola ocorre no mínimo de r. Para theta=pi temos
rmin=d1-cospi=d1-(-1)=d2
Queremos que esse ponto seja (-1,0), isto é, em theta=pi tenha r=1. Logo
d2=1 Longrightarrow d=2
Substituindo em r=dfracd1-costheta vem
boxedr=21-costheta

Passo 4

Para checar, passo à forma cartesiana:
r(1-costheta)=2 ;Longrightarrow; r - rcostheta=2 ;Longrightarrow; raizx^2+y^2-x=2
Elevando ao quadrado e simplificando dá
y^2=4(x+1),
que é uma parábola de vértice em (-1,0), eixo paralelo ao x e foco em (0,0).

Passo 5

Esboço do gráfico:
A parábola tem vértice em (-1,0), foco na origem, eixo horizontal e se abre para a direita. O ponto theta=pi/2 r=2 em (0,2); o ponto theta=3pi/2 r=2 em (0,-2); e conforme thetato0 o denominador (1-costheta)to0 faz rto+infty, abrindo a parábola para a direita.

Resposta

r=21-costheta
Gráfico: parábola com vértice em (-1,0), foco na origem e abertura para a direita.

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