Uma cônica com foco no polo tem excentricidade
e vértice em
. Escreva a equação da cônica na forma polar. Esboce o gráfico da cônica.
Passo 1
O enunciado pede a equação polar de uma cônica com foco no polo (origem), excentricidade
(logo uma parábola) e vértice em
. Para isso vamos usar a forma geral da cônica em coordenadas polares com foco na origem, entender como escolher o sinal no denominador para orientar a parábola e ajustar o parâmetro
de modo que o vértice fique em
.
Passo 2
Em coordenadas polares, uma cônica com foco no polo e excentricidade
tem equação
onde a reta diretora está a uma distância
do foco e faz ângulo
com o eixo
. No nosso caso
e queremos a diretora vertical à esquerda do foco, ou seja a reta
. Isso corresponde a usar
pois aqui o denominador se anula quando
(diretriz “atrás” da origem) e atinge valor máximo quando
(vértice à esquerda).
Passo 3
O vértice da parábola ocorre no mínimo de
. Para
temos
Queremos que esse ponto seja
, isto é, em
tenha
. Logo
Substituindo em
vem
Passo 4
Para checar, passo à forma cartesiana:
Elevando ao quadrado e simplificando dá
que é uma parábola de vértice em
, eixo paralelo ao
e foco em
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
A parábola tem vértice em , foco na origem, eixo horizontal e se abre para a direita. O ponto
dá
em
; o ponto
dá
em
; e conforme
o denominador
faz
, abrindo a parábola para a direita.
A parábola tem vértice em
Resposta
Gráfico: parábola com vértice em
, foco na origem e abertura para a direita.