Considere a seguinte equação polar de uma cónica: r=61-2 cos theta. Determine o valor da excentricidade, o valor da distância da diretriz ao foco, a equação da diretriz, o tipo de cônica e esboce o gráfico da cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação polar de uma cônica com foco na origem
r = 61 - 2costheta
O conteúdo é “cônicas em coordenadas polares” no caso em que
r = e,d1 + ecos(theta-theta0),
onde e é a excentricidade e d é a distância da diretriz ao foco. Vamos ajustar ao nosso caso e extrair e e d.

Passo 2

Reescrevendo
r = 61 - 2costheta = 61 + (2)cos(theta+pi),
vemos que o coeficiente de cos é e=2 e que e,d=6. Logo,
e = 2, d = 6e = 3

Passo 3

Como a forma ficou
r = e,d1 - ecostheta,
a diretriz associada é a reta vertical à esquerda do foco, dada por
x = -d Longrightarrow x = -3

Passo 4

A excentricidade é e=2>1. Portanto a cônica é uma hipérbole com foco na origem.

Passo 5

Para esboçar o gráfico basta notar:
  1. Assíntotas em direções onde o denominador zera, isto é
    ,1-2costheta=0impliescostheta=tfrac12impliestheta=pmtfracpi3
  2. Vértice mais próximo do foco ocorre em theta=pi: r(pi)=61-2(-1)=63=2, isto é, o vértice está em (-2,0).
  3. A hipérbole abre para a esquerda (onde r>0 e costheta<tfrac12).
Assim, em coordenadas cartesianas, temos o foco na origem, uma rama de hipérbole à esquerda com vértice em (-2,0) e assíntotas dadas por theta=pmpi/3.

Resposta

e = 2
d = 3
Diretriz: x = -3
Tipo de cônica: hipérbole
Esboço: rama de hipérbole com foco em (0,0), vértice em (-2,0) e assíntotas theta=pmpi/3.

Exercícios relacionados