Considere a seguinte equação polar de uma cónica:
. Determine o valor da excentricidade, o valor da distância da diretriz ao foco, a equação da diretriz, o tipo de cônica e esboce o gráfico da cônica.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação polar de uma cônica com foco na origem
O conteúdo é “cônicas em coordenadas polares” no caso em que
onde
é a excentricidade e
é a distância da diretriz ao foco. Vamos ajustar ao nosso caso e extrair
e
.
Passo 2
Reescrevendo
vemos que o coeficiente de
é
e que
. Logo,
Passo 3
Como a forma ficou
a diretriz associada é a reta vertical à esquerda do foco, dada por
Passo 4
A excentricidade é
. Portanto a cônica é uma hipérbole com foco na origem.
Passo 5
Para esboçar o gráfico basta notar:
- Assíntotas em direções onde o denominador zera, isto é
- Vértice mais próximo do foco ocorre em
: isto é, o vértice está em . - A hipérbole abre para a esquerda (onde
e ).
Assim, em coordenadas cartesianas, temos o foco na origem, uma rama de hipérbole à esquerda com vértice em
e assíntotas dadas por
.
Resposta
Diretriz:
Tipo de cônica: hipérbole
Esboço: rama de hipérbole com foco em , vértice em
e assíntotas
.
Tipo de cônica: hipérbole
Esboço: rama de hipérbole com foco em