Exercício 4. Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e indique o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
d yd x+4 y=x^3-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial linear do tipo dydx + 4y = x^3 - x. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e identificar o maior intervalo I onde essa solução está definida. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
dydx + P(x) cdot y = Q(x)
No nosso caso, P(x) = 4 e Q(x) = x^3 - x. Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 3

Vamos calcular a integral de P(x):
integral P(x) dx = integral 4 dx = 4x
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^4x

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
e^4x cdot dydx + 4 e^4x cdot y = (x^3 - x) e^4x
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto mu(x) cdot y.

Passo 5

De fato, podemos reescrever o lado esquerdo como a derivada de mu(x) cdot y:
ddx ( e^4x cdot y ) = (x^3 - x) e^4x
Agora, para encontrar y, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^4x cdot y ) dx = integral (x^3 - x) e^4x dx
Isso simplifica para:
e^4x cdot y = integral (x^3 - x) e^4x dx + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral integral (x^3 - x) e^4x dx. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Integral de x^3 e^4x:
    Vamos definir:
u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 dx
dv = e^4x dx Rightarrow v = 14 e^4x
Aplicando a integração por partes:
integral x^3 e^4x dx = 14 x^3 e^4x - 34 integral x^2 e^4x dx
Esse processo se repete reduzindo o grau do polinômio a cada integração.
  1. Integral de -x e^4x:
    Similarmente:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^4x dx Rightarrow v = 14 e^4x
Aplicando a integração por partes:
integral x e^4x dx = 14 x e^4x - 14 integral e^4x dx = 14 x e^4x - 116 e^4x + C

Passo 7

Após resolver as integrais por partes, juntamos os resultados:
integral (x^3 - x) e^4x dx = 14 x^3 e^4x - 316 x^2 e^4x + 364 x e^4x - 3256 e^4x - 14 x e^4x + 116 e^4x + C
Simplificando, temos:
e^4x cdot y = ( 14 x^3 - 316 x^2 + 1164 x - 11256 ) e^4x + C

Passo 8

Agora, para encontrar y, dividimos ambos os lados por e^4x:
y = 14 x^3 - 316 x^2 + 1164 x - 11256 + C e^-4x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = 14 x^3 - 316 x^2 + 1164 x - 11256 + C e^-4x
onde C é uma constante arbitrária. O maior intervalo I onde essa solução está definida é (-∞, infty), ou seja, para todos os números reais x.

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