Exercício 4. Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e indique o maior intervalo
sobre o qual a solução geral está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial linear do tipo
. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e identificar o maior intervalo
onde essa solução está definida. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso,
e
. Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 5
De fato, podemos reescrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Agora, para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos resolver cada parte separadamente:
-
Integral de
: Vamos definir:
Aplicando a integração por partes:
Esse processo se repete reduzindo o grau do polinômio a cada integração.
-
Integral de
: Similarmente:
Aplicando a integração por partes:
Passo 7
Após resolver as integrais por partes, juntamos os resultados:
Simplificando, temos:
Passo 8
Agora, para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária. O maior intervalo
onde essa solução está definida é
, ou seja, para todos os números reais
.