Exercício 4. Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e indique o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
(x^2-1) d yd x+2 y=(x+1)^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(x^2-1r)dydx+2y=(x+1)^2,
que é uma ED linear. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x^2-1:
dydx+2x^2-1,y=(x+1)^2x^2-1
Aqui p(x)=tfrac2x^2-1 e q(x)=tfrac(x+1)^2x^2-1.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral p(x),dxr) =exp!l(integral 2x^2-1,dxr)
Como
2x^2-1=1x-1-1x+1,
temos
integral 2x^2-1,dx =lnl|x-1r|-lnl|x+1r| =ln!l|x-1x+1r|
Logo
mu(x)=x-1x+1

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
ddxl(yx-1x+1r) =(x+1)^2x^2-1,x-1x+1 =1
Integrando ambos os lados,
yx-1x+1=integral 1,dx = x + C

Passo 5

Isolando y vem
y=(x+C)x+1x-1
Essa é a solução geral da equação.

Passo 6

Como dividimos por x^2-1, excluem-se os pontos x=pm1. Portanto os maiores intervalos de definição (onde os coeficientes são contínuos) são
(-infty,-1),(-1,1)e(1,infty)

Resposta

y(x)=(x+C)x+1x-1, CinR,
definida em cada intervalo de Rsetminus-1,1, isto é, em (-infty,-1), (-1,1) ou (1,infty).

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