Uma cônica tem um foco na origem, excentricidade 1 / 2 e vértice dado em coordenadas polares por ( 1 ; \pi / 2 ). Escreva uma equação polar da cônica e esboce a cônica junto com a diretriz.

Passo 1

O enunciado pede a equação em coordenadas polares de uma cônica com foco na origem, excentricidade e=\tfrac12 e vértice em \bigl(r=1,\theta=\tfrac\pi2\bigr). Vamos usar a forma geral
r=\frac{e\,d}{1+e\cos(\theta-\varphi)},
onde d é a distância da origem à diretriz e \varphi é a direção do vetor normal à diretriz.

Passo 2

Sabemos que o vértice mais próximo do foco ocorre quando o denominador é máximo, ou seja, quando
\cos(\theta-\varphi)=-1.
Nesse caso \theta_v=\varphi+\pi. Como o vértice dado tem \theta_v=\tfrac\pi2, obtemos
\varphi+\pi=\tfrac\pi2 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=-\tfrac\pi2\equiv\tfrac{3\pi}2.

Passo 3

O valor do raio no vértice é r_v=1. Substituindo \cos(\theta_v-\varphi)=\cos\pi=-1 na fórmula geral, temos
r_v=\frac{e\,d}{1-e} =1.
Como e=\tfrac12, vem
d=\frac{1-e}{e} =\frac{1-\tfrac12}{\tfrac12} =1.

Passo 4

Substituindo e=\tfrac12, d=1 e \varphi=\tfrac{3\pi}2 na forma geral,
r=\frac{\tfrac12\cdot1}{1+\tfrac12\cos\bigl(\theta-\tfrac{3\pi}2\bigr)} =\frac{\tfrac12}{1+\tfrac12\cos(\theta+ \tfrac\pi2)} =\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12\sin\theta} =\frac{1}{2-\sin\theta}.
A diretriz tem equação \mathbf{n}\cdot(x,y)=d, com vetor normal de direção \varphi=\tfrac{3\pi}2, ou seja \mathbf{n}=(0,-1). Logo
0\cdot x+(-1)\cdot y=1 \quad\Longrightarrow\quad y=-1.

Resposta

A equação polar da cônica é
r=\frac{1}{2-\sin\theta},
e a diretriz é a reta
y=-1.
Esboço: a curva é uma elipse de eixo vertical, com vértices em (0,1) e (0,-\tfrac13), cruzando os eixos em (\pm\tfrac12,0); a diretriz é a linha horizontal y=-1.

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