Uma cônica tem um foco na origem, excentricidade
e vértice dado em coordenadas polares por (
). Escreva uma equação polar da cônica e esboce a cônica junto com a diretriz.
Passo 1
O enunciado pede a equação em coordenadas polares de uma cônica com foco na origem, excentricidade
e vértice em
. Vamos usar a forma geral
onde
é a distância da origem à diretriz e
é a direção do vetor normal à diretriz.
Passo 2
Sabemos que o vértice mais próximo do foco ocorre quando o denominador é máximo, ou seja, quando
Nesse caso
. Como o vértice dado tem
, obtemos
Passo 3
O valor do raio no vértice é
. Substituindo
na fórmula geral, temos
Como
, vem
Passo 4
Substituindo
,
e
na forma geral,
A diretriz tem equação
, com vetor normal de direção
, ou seja
. Logo
Resposta
A equação polar da cônica é
e a diretriz é a reta
Esboço: a curva é uma elipse de eixo vertical, com vértices em
e
, cruzando os eixos em
; a diretriz é a linha horizontal
.