Determine o valor das integrais definidas abaixo: (40 pontos)
\int \frac{d x}{x^{2}-3 x-8}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva da função racional
\frac{1}{x^{2}-3x-8}
que é uma integral indefinida do tipo \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}-3x-8}. O conteúdo utilizado será decomposição em frações parciais: primeiro fatoramos o denominador, depois escrevemos a fração como soma de termos simples e, por fim, integramos cada termo, que dará logaritmos.

Passo 2

Encontrar as raízes de x^{2}-3x-8=0 usando a fórmula de Bhaskara. Temos
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=9+32=41
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r_{1}=\frac{3+\sqrt{41}}{2}, \quad r_{2}=\frac{3-\sqrt{41}}{2}.

Passo 3

Escrevemos a fração como
\frac{1}{x^{2}-3x-8} =\frac{1}{(x-r_{1})(x-r_{2})} =\frac{A}{x-r_{1}}+\frac{B}{x-r_{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-r_{1})(x-r_{2}) obtém-se
1 = A\,(x-r_{2}) + B\,(x-r_{1}).
Fazendo x=r_{1} 1 = A\,(r_{1}-r_{2}), logo
A = \frac{1}{r_{1}-r_{2}}.
Fazendo x=r_{2} 1 = B\,(r_{2}-r_{1}), então
B = \frac{1}{r_{2}-r_{1}} = -\frac{1}{r_{1}-r_{2}}.

Passo 4

Sabendo que r_{1}-r_{2}=\sqrt{41}, temos
A=\frac{1}{\sqrt{41}}, \quad B=-\frac{1}{\sqrt{41}}.
Assim
\frac{1}{x^{2}-3x-8} =\frac{1}{\sqrt{41}}\;\frac{1}{x-r_{1}} -\frac{1}{\sqrt{41}}\;\frac{1}{x-r_{2}}.
Integramos termo a termo:
\int \frac{dx}{x-r_{1}} =\ln\bigl|x-r_{1}\bigr| + C_{1}, \quad \int \frac{dx}{x-r_{2}} =\ln\bigl|x-r_{2}\bigr| + C_{2}.

Passo 5

Reunindo tudo e colocando uma única constante C,
\int \frac{dx}{x^{2}-3x-8} =\frac{1}{\sqrt{41}}\ln\bigl|x-r_{1}\bigr| -\frac{1}{\sqrt{41}}\ln\bigl|x-r_{2}\bigr| + C
e, substituindo r_{1}=(3+\sqrt{41})/2 e r_{2}=(3-\sqrt{41})/2,
\int \frac{dx}{x^{2}-3x-8} =\frac{1}{\sqrt{41}} \ln\!\Biggl|\frac{x-\frac{3+\sqrt{41}}{2}}{x-\frac{3-\sqrt{41}}{2}}\Biggr| + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{x^{2}-3x-8} =\frac{1}{\sqrt{41}} \ln\!\Biggl|\frac{x-\frac{3+\sqrt{41}}{2}}{x-\frac{3-\sqrt{41}}{2}}\Biggr| + C. }

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