Considere a reta \vec{r}(t)=\langle 1+t, 1-t, t / 2\rangle e a reta x=-y=2 z. Determine se essas retas são paralelas, concorrentes ou reversas. Se forem concorrentes, determine o ponto de intersecção; caso contrário, determine a distância entre as retas.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb R^3:
\vec r(t)=\langle 1+t,\;1-t,\;t/2\rangle
e a reta definida por x=-y=2z. O que se pede é classificar as retas (paralelas, concorrentes ou reversas) e, se não se intersectarem, calcular a distância entre elas. Para isso, usaremos vetores direção, teste de interseção de parametrizações e a fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 2

Extraímos o vetor direção da primeira reta:
v_1=(1,\,-1,\tfrac12).
Para a segunda reta, escrevemos a parametrização
\ell(s)=(s,\,-s,\;s/2),
cujo vetor direção é
v_2=(1,\,-1,\tfrac12).
Como v_2 é múltiplo escalar de v_1 (na verdade igual), as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 3

Para ver se elas coincidem, igualamos as coordenadas:
(1+t,\;1-t,\;t/2)=(s,\,-s,\;s/2).
Da primeira componente vem s=1+t. Da segunda vem
-s=1-t\\ \Longrightarrow\\ s=t-1.
Como não existe t tal que 1+t=t-1, não há interseção. Logo, as retas são paralelas distintas.

Passo 4

Para retas paralelas, a distância é
d=\frac{\|(P-Q)\times u\|}{\|u\|},
onde escolhemos P=\vec r(0)=(1,1,0), Q=\ell(0)=(0,0,0) e u=(1,-1,\tfrac12). Calculamos
P-Q=(1,1,0),
(P-Q)\times u =(1,1,0)\times(1,-1,\tfrac12) =(\tfrac12,\;-\,\tfrac12,\;-2),
\|(P-Q)\times u\| =\sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^2+\bigl(-\tfrac12\bigr)^2+(-2)^2} =\sqrt{\tfrac14+\tfrac14+4} =\sqrt{\tfrac92} =\frac{3}{\sqrt2},
\|u\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(\tfrac12)^2} =\sqrt{1+1+\tfrac14} =\frac32.
Portanto
d=\frac{3/\sqrt2}{3/2} =\frac{2}{\sqrt2} =\sqrt2.

Resposta

As retas são paralelas e a distância entre elas é \sqrt2.

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