Seja f(x, y)= \begin{cases}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}\right) & \text { se } x^{2}+y^{2}<1 \\\\ 0 & \text { se } x^{2}+y^{2} \geqslant 1\end{cases}
Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}-1},&\text{se }x^{2}+y^{2}<1,\\[6pt] 0,&\text{se }x^{2}+y^{2}\ge1, \end{cases}
e pede o limite
L=\lim_{(x,y)\to\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)}\frac{f(x,y)}{\,x^{2}+y^{2}-1\,}.
Note que o ponto \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) satisfaz
\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)^{2} =\tfrac12+\tfrac12=1,
isto é, está exatamente na fronteira x^{2}+y^{2}=1. Para estudar o limite de uma função de duas variáveis numa fronteira de região onde ela muda de definição, é fundamental verificar caminhos de aproximação pela região interna x^{2}+y^{2}<1 e pela região externa x^{2}+y^{2}>1.]

Passo 2

Aproximando por dentro do disco x^{2}+y^{2}<1, temos
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}-1},
logo
\frac{f(x,y)}{\,x^{2}+y^{2}-1\,} =\frac{1}{\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)\,(x^{2}+y^{2}-1)} =\frac{1}{\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)^{2}}.
Quando (x,y)\to\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) pela parte interna, temos x^{2}+y^{2}-1\to0^{-}, mas \bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)^{2}\to0^{+}. Portanto
\frac{1}{\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)^{2}}\to+\infty.

Passo 3

Aproximando por fora do disco x^{2}+y^{2}>1, a definição dá f(x,y)=0. Então
\frac{f(x,y)}{\,x^{2}+y^{2}-1\,} =\frac{0}{x^{2}+y^{2}-1}=0.
Logo, ao nos aproximarmos de \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) pela parte externa, o valor da fração tende a 0.

Passo 4

Vimos que pela parte interna o quociente tende a +\infty e pela parte externa tende a 0. Como esses dois valores são diferentes, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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