Exercício 2.51. Uma partícula descreve uma cicloide definida pela seguinte função vetorial \vec{r}(t)=(4 t-2 \operatorname{sen} 2 t, 2-2 \cos 2 t).
No instante t=\pi / 4 :
a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula.
b) Determine o vetor normal \vec{N}, o vetor unitário binormal \vec{B} e a trajetória da partícula.
c) Determine a aceleração radial e a tangencial.
d) Interprete fisicamente a trajetória considerando que a dita partícula representa um ponto localizado na borda de uma roda que realiza rolamento sem deslizamento numa superfície horizontal. Identifique a velocidade angular e a velocidade tangencial da roda para todo instante t.
e) Determine a torção e curvatura da cicloide para todo instante t.
f) Determine as coordenadas do centro osculador O da cicloide no instante t=\pi / 4.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \vec r(t) = (4t - 2\operatorname{sen} 2t,\;2 - 2\cos 2t)
que descreve uma cicloide gerada por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizamento. No instante t=\pi/4 precisamos encontrar:
  • (a) a velocidade \vec v e a aceleração \vec a,
  • (b) o vetor normal unitário \vec N, o vetor binormal unitário \vec B e caracterizar a trajetória,
  • (c) as componentes radial e tangencial da aceleração,
  • (d) interpretação física como roda de raio R, identificando a velocidade angular \omega(t) e a velocidade tangencial v_{\mathrm{tan}}(t),
  • (e) curvatura \kappa(t) e torção \tau(t) gerais,
  • (f) o centro de curvatura (osculador) em t=\pi/4.

Passo 2

Derivando componente a componente,
\vec v(t)=\vec r\,'(t) =\bigl(4-4\cos2t,\;4\sen2t\bigr),
\vec a(t)=\vec r\,''(t) =\bigl(8\sen2t,\;8\cos2t\bigr).

Passo 3

No instante t=\pi/4 temos \cos(\pi/2)=0, \operatorname{sen}(\pi/2)=1, logo
\vec v\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\bigl(4-4\cdot0,\;4\cdot1\bigr) =(4,4),
\vec a\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\bigl(8\cdot1,\;8\cdot0\bigr) =(8,0).

Passo 4

O versor tangente é \displaystyle\vec T=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}. Em t=\pi/4,
\|\vec v\|= \sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2, \quad \vec T\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\Bigl(\tfrac{4}{4\sqrt2},\;\tfrac{4}{4\sqrt2}\Bigr) =\bigl(\tfrac1{\sqrt2},\;\tfrac1{\sqrt2}\bigr).
O vetor normal unitário \vec N pode ser obtido projetando \vec a perpendicular a \vec T:
a_N\text{ vetor}=\vec a-(\vec a\cdot\vec T)\,\vec T =(8,0)-\bigl(8/\sqrt2\bigr)\bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) =(4,-4),
\vec N\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\frac{(4,-4)}{\sqrt{4^2+(-4)^2}} =\bigl(\tfrac1{\sqrt2},\;-\,\tfrac1{\sqrt2}\bigr).

Passo 5

O versor binormal em 3D é \vec B=\vec T\times\vec N. Assim em t=\pi/4
\vec B\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =(0,0,\;T_xN_y-T_yN_x) =(0,0,\;\tfrac1{\sqrt2}\,(-\tfrac1{\sqrt2}) -\tfrac1{\sqrt2}\,\tfrac1{\sqrt2}) =(0,0,-1).
A trajetória é uma cicloide no plano xy, dada parametrizadamente por \vec r(t).

Passo 6

A componente tangencial da aceleração é
a_T=\frac{\vec v\cdot\vec a}{\|\vec v\|} =\frac{(4,4)\cdot(8,0)}{4\sqrt2} =\frac{32}{4\sqrt2} =4\sqrt2.
A componente normal (centrípeta) é
a_N=\sqrt{\|\vec a\|^2-a_T^2} =\sqrt{8^2-(4\sqrt2)^2} =\sqrt{64-32} =4\sqrt2.

Passo 7

Física do rolamento sem deslizamento: se o ângulo de giro da roda é \theta=2t, então
\omega(t)=\dot\theta=2\quad(\mathrm{rad/s}),
o raio da roda é R=2 e a velocidade tangencial do centro (ou do ponto de contato) é
v_{\mathrm{tan}}(t)=R\,\omega=2\cdot2=4\quad(\mathrm{u/s}),
constante.

Passo 8

A curvatura de uma curva paramétrica em plano é
\kappa(t) =\frac{\|\vec v\times\vec a\|}{\|\vec v\|^3} =\frac{64\sin^2t}{(8|\sin t|)^3} =\frac1{8|\sin t|}.
Como a cicloide é plana, a torção é
\tau(t)=0.

Passo 9

O centro de curvatura (osculador) é
\vec O =\vec r+\frac1\kappa\,\vec N.
Em t=\pi/4, \vec r=(\pi-2,2), 1/\kappa=8\sin(\pi/4)=4\sqrt2 e \vec N=(1/\sqrt2,-1/\sqrt2), logo
\vec O\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =(\pi-2,2)+4\sqrt2\,\bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\bigr) =(\pi-2,2)+(4,-4) =(\pi+2,\,-2).

Resposta

(a) \vec v(t)=(4-4\cos2t,\;4\sen2t), \vec a(t)=(8\sen2t,\;8\cos2t); em t=\pi/4, \vec v=(4,4), \vec a=(8,0).
(b) \vec N(\pi/4)=(1/\sqrt2,\,-1/\sqrt2), \vec B(\pi/4)=(0,0,-1); a trajetória é a cicloide dada por \vec r(t).
(c) a_{\mathrm{tan}}=4\sqrt2, a_{\mathrm{rad}}=4\sqrt2 em t=\pi/4.
(d) Roda de raio R=2 com \omega(t)=2 rad/s e v_{\mathrm{tan}}(t)=R\omega=4.
(e) \kappa(t)=1/(8|\sin t|), \tau(t)=0.
(f) Centro de curvatura \vec O(\pi/4)=(\pi+2,\,-2).

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