Exercício 2.51. Uma partícula descreve uma cicloide definida pela seguinte função vetorial
.
No instante
:
a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula.
b) Determine o vetor normal
, o vetor unitário binormal
e a trajetória da partícula.
c) Determine a aceleração radial e a tangencial.
d) Interprete fisicamente a trajetória considerando que a dita partícula representa um ponto localizado na borda de uma roda que realiza rolamento sem deslizamento numa superfície horizontal. Identifique a velocidade angular e a velocidade tangencial da roda para todo instante
.
e) Determine a torção e curvatura da cicloide para todo instante
.
f) Determine as coordenadas do centro osculador
da cicloide no instante
.
No instante
a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula.
b) Determine o vetor normal
c) Determine a aceleração radial e a tangencial.
d) Interprete fisicamente a trajetória considerando que a dita partícula representa um ponto localizado na borda de uma roda que realiza rolamento sem deslizamento numa superfície horizontal. Identifique a velocidade angular e a velocidade tangencial da roda para todo instante
e) Determine a torção e curvatura da cicloide para todo instante
f) Determine as coordenadas do centro osculador
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
que descreve uma cicloide gerada por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizamento. No instante precisamos encontrar:
que descreve uma cicloide gerada por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizamento. No instante
- (a) a velocidade
e a aceleração , - (b) o vetor normal unitário
, o vetor binormal unitário e caracterizar a trajetória, - (c) as componentes radial e tangencial da aceleração,
- (d) interpretação física como roda de raio
, identificando a velocidade angular e a velocidade tangencial , - (e) curvatura
e torção gerais, - (f) o centro de curvatura (osculador) em
.
Passo 2
Derivando componente a componente,
Passo 3
No instante
temos
,
, logo
Passo 4
O versor tangente é
. Em
,
O vetor normal unitário
pode ser obtido projetando
perpendicular a
:
Passo 5
O versor binormal em 3D é
. Assim em
A trajetória é uma cicloide no plano
, dada parametrizadamente por
.
Passo 6
A componente tangencial da aceleração é
A componente normal (centrípeta) é
Passo 7
Física do rolamento sem deslizamento: se o ângulo de giro da roda é
, então
o raio da roda é
e a velocidade tangencial do centro (ou do ponto de contato) é
constante.
Passo 8
A curvatura de uma curva paramétrica em plano é
Como a cicloide é plana, a torção é
Passo 9
O centro de curvatura (osculador) é
Em
,
,
e
, logo
Resposta
(a)
,
; em
,
,
.
(b) ,
; a trajetória é a cicloide dada por
.
(c) ,
em
.
(d) Roda de raio com
rad/s e
.
(e) ,
.
(f) Centro de curvatura .
(b)
(c)
(d) Roda de raio
(e)
(f) Centro de curvatura