Para as cônicas em coordenadas polares, determine os vértices e focos:
r=\frac{10}{3-2 \cos \theta}

Passo 1

Enunciado: a cônica, em coordenadas polares, é dada por \displaystyle r=\frac{10}{3-2\cos\theta}.
O que se pede: determinar os vértices e os focos da cônica.
Informações dadas relevantes: a equação polar \displaystyle r=\frac{10}{3-2\cos\theta}. Nada mais foi fornecido (por exemplo, figura), então vamos trabalhar só com essa equação.

Passo 2

Colocar a equação numa forma padrão de cônicas em coordenadas polares.
Vamos manipular algebricamente:
r=\frac{10}{3-2\cos\theta}=\frac{10/3}{1-\tfrac{2}{3}\cos\theta}.
Escrevemos o denominador como 1+e\cos\theta usando um sinal em e. Aqui temos 1-\tfrac{2}{3}\cos\theta=1+(-\tfrac{2}{3})\cos\theta. Portanto o parâmetro associado ao cosseno é e=-\tfrac{2}{3}. A “excentricidade” é o valor absoluto
e=\left|\!-\tfrac{2}{3}\right|=\tfrac{2}{3}.
Também podemos identificar o semi-latus rectum (que vou chamar de l): da forma padrão r=\dfrac{l}{1+e\cos\theta} vemos que
l=\frac{10}{3}.

Passo 3

Interpretação da excentricidade e do tipo de cônica.
  • Como e=\tfrac{2}{3}<1, a cônica é uma elipse.
  • A presença de \cos\theta (sem deslocamento angular) indica que o eixo principal da elipse está na direção \theta=0 (ou seja, no eixo x).
  • A equação está posta com um foco na origem (formas polares padrão com denominador 1+e\cos(\theta-\theta_0) têm o foco na origem). Logo um dos focos é (0,0).

Passo 4

Encontrar os vértices pela avaliação de r ao longo do eixo principal ( \theta=0 e \theta=\pi). Isso é prático porque os vértices (os extremos da elipse ao longo do eixo maior) aparecem nesses ângulos quando o eixo maior é o eixo x.
Calcule:
r(0)=\frac{10}{3-2\cdot 1}=\frac{10}{1}=10,
r(\pi)=\frac{10}{3-2\cdot(-1)}=\frac{10}{5}=2.
Esses dois valores são as distâncias do foco na origem aos dois vértices ao longo do eixo x. Para uma elipse com foco na origem e excentricidade e, os raios aos vértices satisfazem
r_{\max}=a(1+e),\qquad r_{\min}=a(1-e),
onde a é o semi-eixo maior. Aqui r_{\max}=10 e r_{\min}=2. Somando e subtraindo as duas equações:
r_{\max}+r_{\min}=2a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{10+2}{2}=6,
r_{\max}-r_{\min}=2ae\quad\Rightarrow\quad e=\frac{10-2}{2a}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3},
o que confirma o e que já tínhamos.

Passo 5

Calcular c (distância do centro ao foco) e localizar o centro, os vértices e o outro foco.
Definição: para uma elipse, c=ae (distância do centro até cada foco). Assim
c=a e = 6\cdot \tfrac{2}{3}=4.
Se colocamos a elipse com um foco na origem e o eixo maior ao longo do eixo x, então o centro está a uma distância c do foco, na direção do eixo positivo x. Ou seja o centro tem coordenada x=c=4. Portanto:
  • Centro: (4,0).
  • Vértices (extremos do eixo maior) são x=c\pm a, isto é x=4\pm 6. Logo os vértices são
    (-2,0) e (10,0).
  • Os focos ficam em x=c\pm c em relação à origem? Melhor raciocinar assim: sabemos um foco é a origem (0,0) (dado pela fórmula polar). O outro foco fica à distância 2c da origem ao longo do eixo x, porque o centro está em x=4 e o outro foco está em x=4+4=8. Portanto os focos são (0,0) e (8,0).

Passo 6

Verificação rápida usando a relação do semi-latus rectum: para elipse l=a(1-e^2). Calculando
a(1-e^2)=6\Big(1-\big(\tfrac{2}{3}\big)^2\Big)=6\Big(1-\tfrac{4}{9}\Big)=6\cdot\tfrac{5}{9}=\tfrac{30}{9}=\tfrac{10}{3},
que coincide com l identificado no Passo 2, confirmando coerência dos resultados.

Resposta

Vértices: (-2,0) e (10,0)
Focos: (0,0) e (8,0)

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