Para as cônicas em coordenadas polares, determine os vértices e focos: r=\frac{10}{3-2 \cos \theta}
Passo 1
Enunciado: a cônica, em coordenadas polares, é dada por \displaystyle r=\frac{10}{3-2\cos\theta}.
O que se pede: determinar os vértices e os focos da cônica.
Informações dadas relevantes: a equação polar \displaystyle r=\frac{10}{3-2\cos\theta}. Nada mais foi fornecido (por exemplo, figura), então vamos trabalhar só com essa equação.
Passo 2
Colocar a equação numa forma padrão de cônicas em coordenadas polares.
Vamos manipular algebricamente:
Escrevemos o denominador como 1+e\cos\theta usando um sinal em e. Aqui temos 1-\tfrac{2}{3}\cos\theta=1+(-\tfrac{2}{3})\cos\theta. Portanto o parâmetro associado ao cosseno é e=-\tfrac{2}{3}. A “excentricidade” é o valor absoluto
e=\left|\!-\tfrac{2}{3}\right|=\tfrac{2}{3}.
Também podemos identificar o semi-latus rectum (que vou chamar de l): da forma padrão r=\dfrac{l}{1+e\cos\theta} vemos que
l=\frac{10}{3}.
Passo 3
Interpretação da excentricidade e do tipo de cônica.
Como e=\tfrac{2}{3}<1, a cônica é uma elipse.
A presença de \cos\theta (sem deslocamento angular) indica que o eixo principal da elipse está na direção \theta=0 (ou seja, no eixo x).
A equação está posta com um foco na origem (formas polares padrão com denominador 1+e\cos(\theta-\theta_0) têm o foco na origem). Logo um dos focos é (0,0).
Passo 4
Encontrar os vértices pela avaliação de r ao longo do eixo principal (\theta=0 e \theta=\pi). Isso é prático porque os vértices (os extremos da elipse ao longo do eixo maior) aparecem nesses ângulos quando o eixo maior é o eixo x.
Calcule:
r(0)=\frac{10}{3-2\cdot 1}=\frac{10}{1}=10,
r(\pi)=\frac{10}{3-2\cdot(-1)}=\frac{10}{5}=2.
Esses dois valores são as distâncias do foco na origem aos dois vértices ao longo do eixo x. Para uma elipse com foco na origem e excentricidade e, os raios aos vértices satisfazem
r_{\max}=a(1+e),\qquad r_{\min}=a(1-e),
onde a é o semi-eixo maior. Aqui r_{\max}=10 e r_{\min}=2. Somando e subtraindo as duas equações:
Calcular c (distância do centro ao foco) e localizar o centro, os vértices e o outro foco.
Definição: para uma elipse, c=ae (distância do centro até cada foco). Assim
c=a e = 6\cdot \tfrac{2}{3}=4.
Se colocamos a elipse com um foco na origem e o eixo maior ao longo do eixo x, então o centro está a uma distância c do foco, na direção do eixo positivo x. Ou seja o centro tem coordenada x=c=4. Portanto:
Centro: (4,0).
Vértices (extremos do eixo maior) são x=c\pm a, isto é x=4\pm 6. Logo os vértices são (-2,0) e (10,0).
Os focos ficam em x=c\pm c em relação à origem? Melhor raciocinar assim: sabemos um foco é a origem (0,0) (dado pela fórmula polar). O outro foco fica à distância 2c da origem ao longo do eixo x, porque o centro está em x=4 e o outro foco está em x=4+4=8. Portanto os focos são (0,0) e (8,0).
Passo 6
Verificação rápida usando a relação do semi-latus rectum: para elipse l=a(1-e^2). Calculando