Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Elipse com excentricidade 2 / 3 e diretriz r \cos \theta=4

Passo 1

O enunciado pede a equação polar da cônica que satisfaça duas propriedades: excentricidade \displaystyle e=\tfrac{2}{3} e diretriz dada por \displaystyle r\cos\theta=4.\n
Informações relevantes fornecidas:
e=\tfrac{2}{3},
\text{diretriz: } r\cos\theta=4.

Passo 2

Vamos identificar o que cada coisa significa geometricamente (sem ainda resolver). Num sistema de coordenadas polares, um ponto qualquer tem coordenadas \displaystyle (r,\theta) com
x=r\cos\theta,
y=r\sin\theta,
e a distância do ponto ao foco tomado na origem é simplesmente \displaystyle r. A diretriz \displaystyle r\cos\theta=4 representa a reta vertical
x=4,
pois substituímos \displaystyle x=r\cos\theta. Ou seja: a diretriz está à direita da origem, a distância da diretriz ao eixo y é \displaystyle d=4.

Passo 3

Agora explico a definição que vou usar (com dedução completa): uma cônica com foco na origem e diretriz vertical \displaystyle x=d é o conjunto de pontos tais que a razão entre a distância do ponto ao foco e a distância do ponto à diretriz é \displaystyle e. Em símbolos:
\frac{\text{distância ao foco}}{\text{distância à diretriz}}=e.ââà
Para um ponto (r,\theta) a distância ao foco é \displaystyle r. A distância do ponto à reta \displaystyle x=d (quando o ponto está à esquerda da reta, isto é quando \displaystyle r\cos\theta<d) é
\text{distância à diretriz}=d-r\cos\theta.âà
Substituindo na definição:
\frac{r}{\,d-r\cos\theta\,}=e.

Passo 4

Agora resolvemos essa equação para \displaystyle r. Multiplicando ambos os lados pelo denominador e isolando \displaystyle r obtemos
r = e\bigl(d - r\cos\theta\bigr).
Distribuindo:
r = ed - e r\cos\theta.
Colocando os termos que contêm \displaystyle r no mesmo lado:
r + e r\cos\theta = ed.
Fatorando \displaystyle r:
r\bigl(1 + e\cos\theta\bigr)=ed.
Finalmente, isolando \displaystyle r:
r=\frac{ed}{\,1+e\cos\theta\,}.
Essa é a fórmula geral para a cônica com foco na origem e diretriz \displaystyle x=d (reta à direita).

Passo 5

Agora aplicamos os valores dados: \displaystyle e=\tfrac{2}{3} e \displaystyle d=4. Substituindo na fórmula:
r=\frac{\left(\tfrac{2}{3}\right)\cdot 4}{\,1+\left(\tfrac{2}{3}\right)\cos\theta\,} =\frac{\tfrac{8}{3}}{\,1+\tfrac{2}{3}\cos\theta\,}.

Passo 6

Para simplificar a fração, multiplicamos numerador e denominador por \displaystyle 3:
r=\frac{\tfrac{8}{3}}{\,1+\tfrac{2}{3}\cos\theta\,} =\frac{8}{\,3+2\cos\theta\,}.

Passo 7

Comentário útil para a prova: como \displaystyle e=\tfrac{2}{3}<1, a cônica é uma elipse. Além disso o denominador \displaystyle 3+2\cos\theta varia entre \displaystyle 1 e \displaystyle 5, então \displaystyle r é sempre positivo — a fórmula é bem comportada para todo \displaystyle \theta.

Resposta

r=\frac{8}{\,3+2\cos\theta\,}

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