Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Elipse com excentricidade
e diretriz
Elipse com excentricidade
Passo 1
O enunciado pede a equação polar da cônica que satisfaça duas propriedades: excentricidade
e diretriz dada por
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos identificar o que cada coisa significa geometricamente (sem ainda resolver). Num sistema de coordenadas polares, um ponto qualquer tem coordenadas
com
e a distância do ponto ao foco tomado na origem é simplesmente
. A diretriz
representa a reta vertical
pois substituímos
. Ou seja: a diretriz está à direita da origem, a distância da diretriz ao eixo
é
.
Passo 3
Agora explico a definição que vou usar (com dedução completa): uma cônica com foco na origem e diretriz vertical
é o conjunto de pontos tais que a razão entre a distância do ponto ao foco e a distância do ponto à diretriz é
. Em símbolos:
Para um ponto
a distância ao foco é
. A distância do ponto à reta
(quando o ponto está à esquerda da reta, isto é quando
) é
Substituindo na definição:
Passo 4
Agora resolvemos essa equação para
. Multiplicando ambos os lados pelo denominador e isolando
obtemos
Distribuindo:
Colocando os termos que contêm
no mesmo lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Essa é a fórmula geral para a cônica com foco na origem e diretriz
(reta à direita).
Passo 5
Agora aplicamos os valores dados:
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Para simplificar a fração, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 7
Comentário útil para a prova: como
, a cônica é uma elipse. Além disso o denominador
varia entre
e
, então
é sempre positivo — a fórmula é bem comportada para todo
.