Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Parábola com foco na origem e diretriz
Parábola com foco na origem e diretriz
Passo 1
O enunciado pede: escrever a equação em coordenadas polares da cônica que é uma parábola, com foco na origem e diretriz dada por
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- foco na origem (ou seja, o foco tem coordenadas
); - diretriz é a reta
; - é uma parábola (logo a excentricidade é
).
Passo 2
Vamos lembrar o que significam as coordenadas polares e a definição da cônica por foco e diretriz.
Em coordenadas polares, um ponto qualquer tem coordenadas , onde:
Em coordenadas polares, um ponto qualquer tem coordenadas
e
é a distância do ponto até a origem (o foco, neste problema).
A definição da cônica (com excentricidade ) em que o foco está na origem e a diretriz é uma reta é: a distância do ponto ao foco é igual a
vezes a distância do ponto à diretriz. Para a parábola temos
, portanto
A definição da cônica (com excentricidade
Aqui a distância ao foco é simplesmente
. A diretriz é
, portanto a distância (perpendicular) de um ponto
à reta
é
.
Passo 3
Para pontos da parábola, que ficam abaixo da reta
(pois o foco está em
e a diretriz está em
), temos
e assim
. Usando
, a igualdade distância ao foco = distância à diretriz vira
Agora isolamos
. Primeiro somamos
em ambos os lados:
Fatorando
:
Portanto
Passo 4
Podemos interpretar e checar resultados simples para ganhar confiança. A equação obtida é a forma polar da parábola com foco na origem e diretriz
. Notas importantes:
- A fórmula geral para uma cônica com foco na origem e diretriz horizontal
é
e com
e
recuperamos
.
- O vértice ocorre quando
é mínimo; aqui ocorre em (pois máximo vale ), dando . Esse ponto é , que de fato está no meio entre o foco e a diretriz . - Se quisermos verificar em coordenadas cartesianas, podemos escrever
e substituir , obter
que é a forma cartesiana da parábola, com vértice em
e abrindo para baixo (em direção ao foco).