Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Parábola com foco na origem e diretriz y=3

Passo 1

O enunciado pede: escrever a equação em coordenadas polares da cônica que é uma parábola, com foco na origem e diretriz dada por y=3.
Informações relevantes fornecidas:
  • foco na origem (ou seja, o foco tem coordenadas (0,0));
  • diretriz é a reta y=3;
  • é uma parábola (logo a excentricidade é \,e=1).

Passo 2

Vamos lembrar o que significam as coordenadas polares e a definição da cônica por foco e diretriz.
Em coordenadas polares, um ponto qualquer tem coordenadas (r,\theta), onde:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e r é a distância do ponto até a origem (o foco, neste problema).
A definição da cônica (com excentricidade e) em que o foco está na origem e a diretriz é uma reta é: a distância do ponto ao foco é igual a e vezes a distância do ponto à diretriz. Para a parábola temos e=1, portanto
\text{distância ao foco} \;=\; \text{distância à diretriz}.ââà
Aqui a distância ao foco é simplesmente r. A diretriz é y=3, portanto a distância (perpendicular) de um ponto (x,y) à reta y=3 é |y-3|.

Passo 3

Para pontos da parábola, que ficam abaixo da reta y=3 (pois o foco está em y=0 e a diretriz está em y=3), temos y<3 e assim |y-3|=3-y. Usando y=r\sin\theta, a igualdade distância ao foco = distância à diretriz vira
r = 3 - y = 3 - r\sin\theta.
Agora isolamos r. Primeiro somamos r\sin\theta em ambos os lados:
r + r\sin\theta = 3.
Fatorando r:
r(1+\sin\theta)=3.
Portanto
r=\frac{3}{1+\sin\theta}.

Passo 4

Podemos interpretar e checar resultados simples para ganhar confiança. A equação obtida é a forma polar da parábola com foco na origem e diretriz y=3. Notas importantes:
  • A fórmula geral para uma cônica com foco na origem e diretriz horizontal y=d é
r=\frac{ed}{1+e\sin\theta},
e com e=1 e d=3 recuperamos r=\dfrac{3}{1+\sin\theta}.
  • O vértice ocorre quando r é mínimo; aqui ocorre em \theta=\tfrac{\pi}{2} (pois \sin\theta máximo vale 1), dando r=\dfrac{3}{2}. Esse ponto é (x,y)=(0,\tfrac{3}{2}), que de fato está no meio entre o foco (0,0) e a diretriz y=3.
  • Se quisermos verificar em coordenadas cartesianas, podemos escrever r=\sqrt{x^2+y^2} e substituir r=3-y, obter
x^2+y^2=(3-y)^2\implies x^2 = 9-6y \implies y=\frac{3}{2}-\frac{x^2}{6},
que é a forma cartesiana da parábola, com vértice em \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr) e abrindo para baixo (em direção ao foco).

Resposta

r=\frac{3}{1+\sin\theta}

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