Encontre a dimensão e o espaço gerado por:
(i) (1,-2,3,-1) e (1,1,-2,3)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4:
v_1 = (1,-2,3,-1),\qquad v_2 = (1,1,-2,3).
As perguntas são:
  • Determinar a dimensão do subespaço gerado por v_1 e v_2.
  • Determinar o próprio espaço gerado por v_1 e v_2 (ou seja, descrever \mathrm{span}\{v_1,v_2\}).

Passo 2

O que significam essas coisas (explicação didática e sem pressa):
  • O espaço gerado por v_1 e v_2, escrito \mathrm{span}\{v_1,v_2\}, é o conjunto de todas as combinações lineares
\{\, s v_1 + t v_2 \mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
Isso é um subespaço de \mathbb{R}^4; geometricamente é uma reta (se os vetores forem dependentes) ou um plano (se forem independentes) passando pela origem.
  • A dimensão desse subespaço é o número de vetores numa base desse subespaço. Para dois vetores, a dimensão pode ser 0 (se ambos forem o vetor zero), 1 (se forem múltiplos um do outro) ou 2 (se forem linearmente independentes). Então precisamos checar se v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 3

Teste de independência linear feito direto: considerar a combinação linear que gera o vetor zero e ver se os coeficientes são todos zero:
a v_1 + b v_2 = 0,\qquad a,b\in\mathbb{R}.
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b = 0,\\[4pt] -2a + b = 0,\\[4pt] 3a - 2b = 0,\\[4pt] - a + 3b = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação temos
a + b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -b.
  • Substituindo a=-b na segunda equação:
-2(-b) + b = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b + b = 0 \quad\Rightarrow\quad 3b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.
  • Como b=0, da relação a=-b segue a=0.
  • Verificação: com a=0 e b=0 as terceira e quarta equações ficam 0=0, portanto não há contradição e a única solução do sistema é a=b=0.

Passo 5

Conclusão sobre independência e dimensão:
  • Como a única combinação que dá o vetor zero é a combinação trivial a=b=0, os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes.
  • Dois vetores linearmente independentes geram um subespaço de dimensão 2. Portanto
\dim\big(\mathrm{span}\{v_1,v_2\}\big) = 2.

Passo 6

Descrever explicitamente o espaço gerado (forma paramétrica e base):
  • Em forma de combinações lineares:
\mathrm{span}\{v_1,v_2\} = \{\, s(1,-2,3,-1) + t(1,1,-2,3) \mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
  • Escrevendo as componentes em função de s e t:
\mathrm{span}\{v_1,v_2\} = \left\{\, (\,s+t,\; -2s+t,\; 3s-2t,\; -s+3t\,)\mid s,t\in\mathbb{R}\,\right\}.
  • Uma base natural desse subespaço é \{v_1,v_2\} (já que são independentes) e portanto o subespaço é um plano bidimensional em \mathbb{R}^4.

Resposta

\dim\big(\mathrm{span}\{(1,-2,3,-1),(1,1,-2,3)\}\big)=2
\mathrm{span}\{(1,-2,3,-1),(1,1,-2,3)\}=\{\, s(1,-2,3,-1)+t(1,1,-2,3)\mid s,t\in\mathbb{R}\,\}

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