Encontre a dimensão e o espaço gerado por:
(i)
e
(i)
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
As perguntas são:
- Determinar a dimensão do subespaço gerado por
e . - Determinar o próprio espaço gerado por
e (ou seja, descrever ).
Passo 2
O que significam essas coisas (explicação didática e sem pressa):
- O espaço gerado por
e , escrito , é o conjunto de todas as combinações lineares
Isso é um subespaço de
; geometricamente é uma reta (se os vetores forem dependentes) ou um plano (se forem independentes) passando pela origem.
- A dimensão desse subespaço é o número de vetores numa base desse subespaço. Para dois vetores, a dimensão pode ser
(se ambos forem o vetor zero), (se forem múltiplos um do outro) ou (se forem linearmente independentes). Então precisamos checar se e são linearmente independentes.
Passo 3
Teste de independência linear feito direto: considerar a combinação linear que gera o vetor zero e ver se os coeficientes são todos zero:
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo:
- Da primeira equação temos
- Substituindo
na segunda equação:
- Como
, da relação segue . - Verificação: com
e as terceira e quarta equações ficam , portanto não há contradição e a única solução do sistema é .
Passo 5
Conclusão sobre independência e dimensão:
- Como a única combinação que dá o vetor zero é a combinação trivial
, os vetores e são linearmente independentes. - Dois vetores linearmente independentes geram um subespaço de dimensão
. Portanto
Passo 6
Descrever explicitamente o espaço gerado (forma paramétrica e base):
- Em forma de combinações lineares:
- Escrevendo as componentes em função de
e :
- Uma base natural desse subespaço é
(já que são independentes) e portanto o subespaço é um plano bidimensional em .