Para as cônicas dadas em coordenadas polares, identifique a excentricidade, o tipo de cônica e a equação da diretriz:
r=\frac{12}{4+3 \sin \theta}

Passo 1

Enunciado: Temos a cônica dada em coordenadas polares pela equação
r=\frac{12}{4+3\sin\theta}.
O que o enunciado pede:
  • Identificar a excentricidade.
  • Identificar o tipo da cônica (elipse, parábola ou hipérbole).
  • Determinar a equação da diretriz correspondente.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação polar explícita \displaystyle r=\frac{12}{4+3\sin\theta}.
  • Não há outras informações (por exemplo posição do foco), então assumimos a convenção padrão: o polo é um foco da cônica e a forma da equação relaciona-se com uma diretriz paralela ao eixo y quando aparece \sin\theta.

Passo 2

Primeiro, vou reescrever a equação de forma parecida com a forma padrão conhecida para cônicas em coordenadas polares, fatorando o denominador:
r=\frac{12}{4+3\sin\theta}=\frac{12}{4\bigl(1+\tfrac{3}{4}\sin\theta\bigr)}.
Agora simplifico o fator:
r=\frac{12}{4}\cdot\frac{1}{1+\tfrac{3}{4}\sin\theta}=\frac{3}{1+\tfrac{3}{4}\sin\theta}.

Passo 3

Explico a forma padrão que vou usar (com dedução curta para entender por que funciona).
Definição geométrica (intuição): uma cônica pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos P tais que a distância do ponto ao foco (aqui o polo) é igual a e vezes a distância de P a uma diretriz (uma reta). O parâmetro e é a excentricidade.
Se a diretriz for a reta y=d (ou seja, paralela ao eixo x e acima do polo), ao escrever a condição de definição e resolver em coordenadas polares obtém-se a forma
r=\frac{e d}{1+e\sin\theta}.
Nessa forma, o coeficiente multiplicando \sin\theta no denominador é exatamente a excentricidade e, e o numerador é e d.

Passo 4

Comparando a nossa forma já simplificada
r=\frac{3}{1+\tfrac{3}{4}\sin\theta}
com a forma padrão
r=\frac{e d}{1+e\sin\theta},
vemos que o coeficiente de \sin\theta no denominador é e=\tfrac{3}{4} e o numerador e d=3.
Portanto:
e=\tfrac{3}{4}.
Como regra de classificação:
  • Se e<1 a cônica é uma elipse.
  • Se e=1 é uma parábola.
  • Se e>1 é uma hipérbole.
Aqui e=\tfrac{3}{4}<1, logo a cônica é uma elipse.

Passo 5

Agora encontramos a distância d da diretriz ao polo. Sabendo que e d=3 e que e=\tfrac{3}{4}, calculamos d:
d=\frac{e d}{e}=\frac{3}{\tfrac{3}{4}}=3\cdot\frac{4}{3}=4.
Resta interpretar o sinal: a forma com 1+e\sin\theta corresponde à diretriz acima do polo, ou seja à reta horizontal y=d. (Se fosse 1-e\sin\theta a diretriz seria y=-d. Analogamente, o uso de \cos\theta liga-se a diretrizes do tipo x=\pm d.)
Portanto a diretriz associada é a reta
y=4.

Resposta

\displaystyle e=\frac{3}{4}
\displaystyle \text{Tipo: elipse}
\displaystyle \text{Diretriz: } y=4

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