Para as cônicas dadas em coordenadas polares, identifique a excentricidade, o tipo de cônica e a equação da diretriz:
Passo 1
Enunciado: Temos a cônica dada em coordenadas polares pela equação
O que o enunciado pede:
- Identificar a excentricidade.
- Identificar o tipo da cônica (elipse, parábola ou hipérbole).
- Determinar a equação da diretriz correspondente.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação polar explícita
. - Não há outras informações (por exemplo posição do foco), então assumimos a convenção padrão: o polo é um foco da cônica e a forma da equação relaciona-se com uma diretriz paralela ao eixo
quando aparece .
Passo 2
Primeiro, vou reescrever a equação de forma parecida com a forma padrão conhecida para cônicas em coordenadas polares, fatorando o denominador:
Agora simplifico o fator:
Passo 3
Explico a forma padrão que vou usar (com dedução curta para entender por que funciona).
Definição geométrica (intuição): uma cônica pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos tais que a distância do ponto ao foco (aqui o polo) é igual a
vezes a distância de
a uma diretriz (uma reta). O parâmetro
é a excentricidade.
Se a diretriz for a reta (ou seja, paralela ao eixo
e acima do polo), ao escrever a condição de definição e resolver em coordenadas polares obtém-se a forma
Definição geométrica (intuição): uma cônica pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos
Se a diretriz for a reta
Nessa forma, o coeficiente multiplicando
no denominador é exatamente a excentricidade
, e o numerador é
.
Passo 4
Comparando a nossa forma já simplificada
com a forma padrão
vemos que o coeficiente de
no denominador é
e o numerador
.
Portanto:
Como regra de classificação:
- Se
a cônica é uma elipse. - Se
é uma parábola. - Se
é uma hipérbole.
Aqui
, logo a cônica é uma elipse.
Passo 5
Agora encontramos a distância
da diretriz ao polo. Sabendo que
e que
, calculamos
:
Resta interpretar o sinal: a forma com
corresponde à diretriz acima do polo, ou seja à reta horizontal
. (Se fosse
a diretriz seria
. Analogamente, o uso de
liga-se a diretrizes do tipo
.)
Portanto a diretriz associada é a reta