Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Elipse com excentricidade
e diretriz
Elipse com excentricidade
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação polar da cônica:
- Excentricidade
.\n - Diretriz
.\n
O que se pede: escrever a equação em coordenadas polaresda elipse com essas propriedades.
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (explicado com calma): uma cônica com foco na origem e diretriz dada é o conjunto dos pontos cujo distância ao foco é igual a
vezes a distância à diretriz. Em fórmula:
Aqui o foco está na origem, então a distância ao foco é simplesmente
(pois em polares a posição do ponto é
). A distância de um ponto
à reta
é
. Vamos aplicar isso com
.
Passo 3
Passamos para coordenadas polares: as coordenadas cartesianas são
e
. Portanto a igualdade distância-foco versus distância-diretriz fica:
Esse é o ponto de partida algébrico em polares: a direita é
vezes a distância vertical entre o ponto e a reta
.
Passo 4
Precisamos tratar o valor absoluto. Há duas possibilidades:
-
, então . -
, então .
Qual escolher? Geometricamente, com a diretriz
e
(elipse), os pontos da elipse ficarão do lado da origem oposto à diretriz ou entre a origem e a diretriz de forma que
. Além disso, a escolha que dá uma expressão
positiva e bem comportada é a segunda. Assim usamos
Passo 5
Substituindo isso em
obtemos:
Agora resolvemos para
. Expandindo e agrupando termos com
:
Portanto, a equação polar geral (com
) é
Passo 6
Agora substituímos o valor numérico de
. Calculando o numerador:
Logo a equação fica
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 7
Verificação rápida de sinal: como
, o denominador
varia entre
e
, sempre positivo; logo
é sempre positivo para todos os
, coerente com uma elipse bem definida.