Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Elipse com excentricidade e=1 / 2 e diretriz y=4

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação polar da cônica:
  • Excentricidade \;e=\dfrac{1}{2}.\n
  • Diretriz \;y=4.\n
    O que se pede: escrever a equação em coordenadas polares (r,\theta) da elipse com essas propriedades.

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (explicado com calma): uma cônica com foco na origem e diretriz dada é o conjunto dos pontos cujo distância ao foco é igual a \;e vezes a distância à diretriz. Em fórmula:
\text{distância ao foco} = e \cdot \text{distância à diretriz}.ââà
Aqui o foco está na origem, então a distância ao foco é simplesmente \;r (pois em polares a posição do ponto é (r,\theta)). A distância de um ponto (x,y) à reta \;y=D é |y-D|. Vamos aplicar isso com D=4.

Passo 3

Passamos para coordenadas polares: as coordenadas cartesianas são \;x=r\cos\theta e \;y=r\sin\theta. Portanto a igualdade distância-foco versus distância-diretriz fica:
r = e\,|r\sin\theta - 4|.
Esse é o ponto de partida algébrico em polares: a direita é e vezes a distância vertical entre o ponto e a reta \;y=4.

Passo 4

Precisamos tratar o valor absoluto. Há duas possibilidades:
  1. r\sin\theta - 4 \ge 0, então |r\sin\theta-4|=r\sin\theta-4.
  2. r\sin\theta - 4 \le 0, então |r\sin\theta-4|=4 - r\sin\theta.
Qual escolher? Geometricamente, com a diretriz \;y=4>0 e e=\tfrac{1}{2}<1 (elipse), os pontos da elipse ficarão do lado da origem oposto à diretriz ou entre a origem e a diretriz de forma que r\sin\theta \le 4. Além disso, a escolha que dá uma expressão r positiva e bem comportada é a segunda. Assim usamos
|r\sin\theta-4| = 4 - r\sin\theta.

Passo 5

Substituindo isso em r = e\,|r\sin\theta - 4| obtemos:
r = e\,(4 - r\sin\theta).
Agora resolvemos para r. Expandindo e agrupando termos com r:
r = 4e - e r\sin\theta
r + e r\sin\theta = 4e
r(1 + e\sin\theta) = 4e.
Portanto, a equação polar geral (com D=4) é
r = \frac{4e}{1 + e\sin\theta}.

Passo 6

Agora substituímos o valor numérico de \;e=\dfrac{1}{2}. Calculando o numerador:
4e = 4\cdot \frac{1}{2} = 2.
Logo a equação fica
r = \frac{2}{1 + \tfrac{1}{2}\sin\theta}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 2:
r = \frac{4}{2 + \sin\theta}.

Passo 7

Verificação rápida de sinal: como \sin\theta\in[-1,1], o denominador 2+\sin\theta varia entre 1 e 3, sempre positivo; logo r é sempre positivo para todos os \theta, coerente com uma elipse bem definida.

Resposta

r = \frac{2}{1 + \tfrac{1}{2}\sin\theta}
\text{(forma equivalente)}\quad r = \frac{4}{2 + \sin\theta}

Exercícios relacionados