Cônicas e Quádricas
Determine a natureza da Quádrica z=2 x^2+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos que tipo de superfície do segundo grau (quádrica) é dada pela equação z = 2x^2 + 4y^2. O conteúdo envolvido é a classificação de quádricas em R^3, usando formas-canônicas e análise de seções transversais.

Passo 2

Para resolver, primeiro observamos que na equação não há termos mistos (como xy, xz ou yz) nem termos lineares em x ou y; só há um termo linear em z e termos quadráticos em x e y. Portanto, já está quase em forma padrão.
Em seguida, podemos analisar seções transversais fixando z = k. Para um valor fixo k>=0, temos
2x^2 + 4y^2 = k
Essa é a equação de uma elipse (quando k>0) e degenera para um ponto quando k=0. Como as elipses crescem à medida que k aumenta, isso indica uma superfície que se abre ao longo do eixo z.

Passo 3

Por fim, como o coeficiente de x^2 e de y^2 é positivo e o termo em z é linear, concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico voltado para cima ao longo do eixo z.

Resposta

Quádricas: paraboloide elíptico abrindo-se ao longo do eixo positivo z.

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