Limites
Calcule, se existir lim (x, y) (0,0) sen(x+y)x y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite de
lim(x,y)to(0,0) sin(x+y)x,y + y^2
O conteúdo é análise de limites em duas variáveis, e vamos verificar existência ou não por meio de caminhos distintos.

Passo 2

Considere o caminho y = x. Nesse caso, x+y = 2x e
x,y + y^2 = xcdot x + x^2 = 2x^2
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sin(x+y)x,y + y^2 = sin(2x)2x^2
Para xto0, usamos sin(2x)sim 2x, então
sin(2x)2x^2sim 2x2x^2=1x,
que diverge para +infty se xto0^+ e para -infty se xto0^-.

Passo 3

Como já encontramos um caminho ao longo do qual a função não tende a valor finito (diverge), fica claro que não pode haver um limite comum ao aproximar (0,0) por todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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