Conidere a função f(x, y)=x yx^2+y^2+1
Avalie o valor do limite de f no ponto P0=(0,0) através dos seguintes contornos: x=0, y=x e y=x^2.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x,yx^2+y^2+1
e pede os limites de f em (0,0) seguindo três contornos: x=0, y=x e y=x^2. O conteúdo aqui é cálculo de limite de função de duas variáveis por caminhos, que fazemos parametrizando cada contorno, substituindo em f e em seguida calculando um limite unidimensional.

Passo 2

No contorno x=0 parametrizamos (x,y)=(0,y). Assim
f(0,y)=0cdot y0^2+y^2+1=0
Logo
lim(x,y)to(0,0)atop x=0f(x,y)=0

Passo 3

No contorno y=x parametrizamos (x,y)=(x,x). Então
f(x,x)=xcdot xx^2+x^2+1 =x^22x^2+1
Como xto0, o numerador vai a 0 e o denominador a 1, portanto
lim(x,y)to(0,0)atop y=xf(x,y)=0

Passo 4

No contorno y=x^2 parametrizamos (x,y)=(x,x^2). Logo
f(x,x^2) =xcdot x^2x^2+x^4+1 =x^31+x^2+x^4
Como xto0, o numerador tende a 0 e o denominador a 1, de modo que
lim(x,y)to(0,0)atop y=x^2f(x,y)=0

Passo 5

Em todas as três trajetórias o limite de f em (0,0) é 0, mostrando que, pelo menos nesses contornos,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

lim(x,y)to(0,0)atop x=0f(x,y)=0,
lim(x,y)to(0,0)atop y=xf(x,y)=0,
lim(x,y)to(0,0)atop y=x^2f(x,y)=0

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