Para que valores de x e y são iguais os complexos z_{1}=(x+1)+3 i e z_{2}=4+(y-1) \cdot i R: x=3 e y=4

Passo 1

O enunciado pergunta: “Para que valores de x e y são iguais os complexos z_{1}=(x+1)+3 i e z_{2}=4+(y-1) \cdot i?”\n
Informações dadas:
  • z_{1}=(x+1)+3i.\n
  • z_{2}=4+(y-1)i.\n
    O objetivo é encontrar os valores de x e y que fazem z_{1}=z_{2}.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): dois números complexos \,a+bi e \,c+di são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias também forem iguais.\n
Isto é, para \,a+bi=c+di devemos ter:
a=c
e
b=d.
Aqui a e c são as partes reais, e b e d são os coeficientes da parte imaginária (multiplicando i). Exemplo simples: \,2+5i é igual a \,2+5i porque partes real e imaginária coincidem; mas \,2+5i não é igual a \,2+4i porque as partes imaginárias são diferentes.

Passo 3

Identificando as partes reais e imaginárias dos complexos dados:\n
Para z_{1}=(x+1)+3i:
  • parte real é \,x+1.\n
  • parte imaginária (coeficiente de i) é \,3.\n
    Para z_{2}=4+(y-1)i:
  • parte real é \,4.\n
  • parte imaginária é \,y-1.\n
    Pelo critério de igualdade de complexos, devemos ter simultaneamente:
x+1=4
e
3=y-1.

Passo 4

Resolver a equação das partes reais \,x+1=4:\n
Subtraímos 1 de ambos os lados para isolar \,x:
x+1-1=4-1
o que simplifica para
x=3.
Aqui o princípio usado é a propriedade de igualdade: podemos somar ou subtrair a mesma quantidade em ambos os lados da igualdade sem alterá‑la.

Passo 5

Resolver a equação das partes imaginárias \,3=y-1:\n
Somamos 1 em ambos os lados para isolar \,y:
3+1=y-1+1
o que dá
4=y,
ou seja
y=4.

Passo 6

Verificação final (substituir para checar):\n
Substituindo \,x=3 em z_{1}:
z_{1}=(3+1)+3i=4+3i.
Substituindo \,y=4 em z_{2}:
z_{2}=4+(4-1)i=4+3i.
Como ambas dão 4+3i, a igualdade está confirmada.

Resposta

x=3\n
y=4

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