Para que um conjunto, associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar, seja considerado um espaço vetorial, deve satisfazer aos 10 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são espaços vetoriais, verificando a validade de cada axioma.
O conjunto das funções a valores reais.
Escalares alpha in R
Adição (f+g)(t)=f(t)+g(t).
Multiplicação por escalar (alpha f)(t)=alpha f(t)

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto das funções com valores reais, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar checar se todas as 10 regras (axiomas) de espaços vetoriais são atendidas. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Axioma 1: Fechamento da adição
Precisamos ver se somar duas funções desse conjunto resulta em outra função também desse conjunto.
Sejam f e g funções que mapeiam números reais para números reais. A adição é definida por (f + g)(t) = f(t) + g(t) .
Como a soma de dois números reais é um número real, (f + g)(t) também é uma função com valores reais. Logo, a soma está dentro do conjunto. Axioma 1 válido!

Passo 3

Axioma 2: Comutatividade da adição
Queremos ver se f + g = g + f .
Calculando:
(f + g)(t) = f(t) + g(t)
(g + f)(t) = g(t) + f(t)
Como a soma de números reais é comutativa ( f(t) + g(t) = g(t) + f(t) ), temos f + g = g + f . Axioma 2 válido!

Passo 4

Axioma 3: Associatividade da adição
Precisamos checar se f + (g + h) = (f + g) + h .
Calculando:
(g + h)(t) = g(t) + h(t)
f + (g + h) = f(t) + g(t) + h(t)
(f + g)(t) = f(t) + g(t)
(f + g) + h = f(t) + g(t) + h(t)
Ambos os lados resultam em f(t) + g(t) + h(t) , então a associatividade é válida. Axioma 3 válido!

Passo 5

Axioma 4: Elemento neutro da adição
Existe uma função zero 0 tal que f + 0 = f .
Definimos 0(t) = 0 para todo t . Então:
(f + 0)(t) = f(t) + 0 = f(t)
Portanto, o elemento neutro existe. Axioma 4 válido!

Passo 6

Axioma 5: Elemento inverso da adição
Para cada função f , existe uma função -f tal que f + (-f) = 0 .
Definimos (-f)(t) = -f(t) . Então:
(f + (-f))(t) = f(t) + (-f(t)) = 0
Assim, o inverso aditivo existe. Axioma 5 válido!

Passo 7

Axioma 6: Fechamento da multiplicação por escalar
Multiplicar uma função por um escalar real deve resultar em outra função do conjunto.
Se alpha in R e f é uma função do conjunto, então:
(alpha f)(t) = alpha cdot f(t)
Como o produto de um número real com outro real é real, alpha f também é uma função de valores reais. Axioma 6 válido!

Passo 8

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Queremos verificar se alpha (f + g) = alpha f + alpha g .
Calculando:
alpha (f + g)(t) = alpha (f(t) + g(t)) = alpha f(t) + alpha g(t)
(alpha f + alpha g)(t) = alpha f(t) + alpha g(t)
Portanto, alpha (f + g) = alpha f + alpha g . Axioma 7 válido!

Passo 9

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Queremos ver se (alpha + beta) f = alpha f + beta f .
Calculando:
(alpha + beta) f(t) = (alpha + beta) f(t) = alpha f(t) + beta f(t)
(alpha f + beta f)(t) = alpha f(t) + beta f(t)
Assim, (alpha + beta) f = alpha f + beta f . Axioma 8 válido!

Passo 10

Axioma 9: Associatividade da multiplicação por escalar
Precisamos checar se alpha (beta f) = (alpha beta) f .
Calculando:
alpha (beta f)(t) = alpha (beta f(t)) = (alpha beta) f(t)
(alpha beta) f(t) = (alpha beta) f(t)
Logo, alpha (beta f) = (alpha beta) f . Axioma 9 válido!

Passo 11

Axioma 10: Multiplicação por escalar unitário
Verificamos se 1 f = f .
Calculando:
(1 f)(t) = 1 cdot f(t) = f(t)
Portanto, 1 f = f . Axioma 10 válido!

Resposta

Todos os 10 axiomas de espaços vetoriais são satisfeitos pelo conjunto das funções com valores reais, usando as operações de adição e multiplicação por escalar definidas. Logo, o conjunto das funções a valores reais, com essas operações, é realmente um espaço vetorial.

Exercícios relacionados