Para que um conjunto, associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar, seja considerado um espaço vetorial, deve satisfazer aos 10 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são espaços vetoriais, verificando a validade de cada axioma.
O conjunto das funções a valores reais.
Escalares
Adição
.
Multiplicação por escalar
O conjunto das funções a valores reais.
Escalares
Adição
Multiplicação por escalar
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto das funções com valores reais, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar checar se todas as 10 regras (axiomas) de espaços vetoriais são atendidas. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Axioma 1: Fechamento da adição
Precisamos ver se somar duas funções desse conjunto resulta em outra função também desse conjunto.
Sejam
e
funções que mapeiam números reais para números reais. A adição é definida por
.
Como a soma de dois números reais é um número real,
também é uma função com valores reais. Logo, a soma está dentro do conjunto. Axioma 1 válido!
Passo 3
Axioma 2: Comutatividade da adição
Queremos ver se
.
Calculando:
Como a soma de números reais é comutativa (
), temos
. Axioma 2 válido!
Passo 4
Axioma 3: Associatividade da adição
Precisamos checar se
.
Calculando:
Ambos os lados resultam em
, então a associatividade é válida. Axioma 3 válido!
Passo 5
Axioma 4: Elemento neutro da adição
Existe uma função zero
tal que
.
Definimos
para todo
. Então:
Portanto, o elemento neutro existe. Axioma 4 válido!
Passo 6
Axioma 5: Elemento inverso da adição
Para cada função
, existe uma função
tal que
.
Definimos
. Então:
Assim, o inverso aditivo existe. Axioma 5 válido!
Passo 7
Axioma 6: Fechamento da multiplicação por escalar
Multiplicar uma função por um escalar real deve resultar em outra função do conjunto.
Se
e
é uma função do conjunto, então:
Como o produto de um número real com outro real é real,
também é uma função de valores reais. Axioma 6 válido!
Passo 8
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Queremos verificar se
.
Calculando:
Portanto,
. Axioma 7 válido!
Passo 9
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Queremos ver se
.
Calculando:
Assim,
. Axioma 8 válido!
Passo 10
Axioma 9: Associatividade da multiplicação por escalar
Precisamos checar se
.
Calculando:
Logo,
. Axioma 9 válido!
Passo 11
Axioma 10: Multiplicação por escalar unitário
Verificamos se
.
Calculando:
Portanto,
. Axioma 10 válido!
Resposta
Todos os 10 axiomas de espaços vetoriais são satisfeitos pelo conjunto das funções com valores reais, usando as operações de adição e multiplicação por escalar definidas. Logo, o conjunto das funções a valores reais, com essas operações, é realmente um espaço vetorial.