Considere as matrizes : A=[ccc2 & 1 & 2 2 & 2 & -2 3 & 1 & 1] e X=[lx y z].
(a) Escreva a equação matricial A X=X como um sistema linear homogêneo.
(b) Resolva o sistema homogêneo do item (a)
(c) Idem (a) e (b) para A X=4 X.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os vetores X=(x,y,z)^T tais que
A X = lambda X
para lambda=1 e lambda=4. Isso é o problema de autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Para escrevemos
Isso gera o sistema homogêneo
ou equivalently
isto é

Passo 3

Resolvendo
3x + y = 0 implies y=-3x, x + (-3x) + 2z =0 implies -2x + 2z =0implies z=x, 2x + (-3x) -2z = -x -2z =0implies z=-tfrac12x,
vemos que das duas expressões para z só são compatíveis se x=0. Logo y=0 e z=0: a única solução é trivial X=(0,0,0).

Passo 4

Para escrevemos
que leva ao sistema
ou seja

Passo 5

Do segundo 2x-2y-2z=0 vem
x - y - z = 0implies y = x - z
No primeiro -2x + (x-z) +2z=0
-2x + x - z +2z = -x + z = 0implies z = x
Então y = x - x = 0. O terceiro 3x + y -3z = 3x -3x=0 fica satisfeito. Logo todo vetor não trivial é da forma
X = t101, tinR

Resposta

(a) O sistema para
(b) A única solução é é
A solução geral é

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