Para que um conjunto, associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar, seja considerado um espaço vetorial, deve satisfazer aos 10 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são espaços vetoriais, verificando a validade de cada axioma.
C^2, o conjunto das duplas ordenadas (x1, x2) de números complexos, com Escalares alpha in C
Adição (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2)
Multiplicação por escalar alpha(x1, x2)=(alpha x1, alpha x2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto C^2 de todas as duplas (x1,x2) com x1,x2inC, munido da adição
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,,x2+y2)
e da multiplicação por escalar alphainC
alpha,(x1,x2)=(alpha x1,,alpha x2)
satisfaça os 10 axiomas de espaço vetorial sobre o corpo C.

Passo 2

(Propriedades da adição)
  1. Fechamento: se (x1,x2),,(y1,y2)inC^2, então
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2)inC^2
pois xi+yiinC.
2. Associatividade: para quaisquer (xi),,(yi),,(zi),
l((x1,x2)+(y1,y2)r)+(z1,z2) =(x1+y1+z1,,x2+y2+z2) =(x1,x2)+l((y1,y2)+(z1,z2)r)
  1. Comutatividade:
(x1,x2)+(y1,y2) =(x1+y1,x2+y2) =(y1+x1,y2+x2) =(y1,y2)+(x1,x2)

Passo 3

(Elemento neutro e inverso aditivo)
  1. Neutro aditivo: (0,0)inC^2 e
(x1,x2)+(0,0)=(x1+0,x2+0)=(x1,x2)
  1. Inverso aditivo: para cada (x1,x2) escolhemos ( -x1,-x2), pois
(x1,x2)+(-x1,-x2)=(0,0)

Passo 4

(Propriedades da multiplicação por escalar)
  1. Fechamento: se alphainC e (x1,x2)inC^2, então
alpha,(x1,x2)=(alpha x1,alpha x2)inC^2
  1. Compatibilidade com produto de escalares:
alphal(beta,(x1,x2)r) =alpha,(beta x1,beta x2) =(alphabeta x1,alphabeta x2) =(alphabeta),(x1,x2)
  1. Neutro da multiplicação escalar:
1,(x1,x2)=(1cdot x1,,1cdot x2)=(x1,x2)

Passo 5

(Distributividade)
  1. Distributividade em relação à adição de vetores:
alphal((x1,x2)+(y1,y2)r) =alpha,(x1+y1,,x2+y2) =(alpha(x1+y1),,alpha(x2+y2)) =(alpha x1+alpha y1,,alpha x2+alpha y2)
=(alpha x1,alpha x2)+(alpha y1,alpha y2)
  1. Distributividade em relação à adição de escalares:
(alpha+beta),(x1,x2) =((alpha+beta)x1,,(alpha+beta)x2) =(alpha x1+beta x1,,alpha x2+beta x2)
=(alpha x1,alpha x2)+(beta x1,beta x2)

Resposta

Como todos os dez axiomas estão satisfeitos, concluímos que C^2 com as operações dadas é um espaço vetorial sobre C.

Exercícios relacionados