Para que um conjunto, associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar, seja considerado um espaço vetorial, deve satisfazer aos 10 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são espaços vetoriais, verificando a validade de cada axioma.
, o conjunto das duplas ordenadas
de números complexos, com Escalares
Adição
Multiplicação por escalar
Adição
Multiplicação por escalar
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
de todas as duplas
com
, munido da adição
e da multiplicação por escalar
satisfaça os 10 axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 2
(Propriedades da adição)
- Fechamento: se
, então
pois
.
2. Associatividade: para quaisquer ,
2. Associatividade: para quaisquer
- Comutatividade:
Passo 3
(Elemento neutro e inverso aditivo)
- Neutro aditivo:
e
- Inverso aditivo: para cada
escolhemos , pois
Passo 4
(Propriedades da multiplicação por escalar)
- Fechamento: se
e , então
- Compatibilidade com produto de escalares:
- Neutro da multiplicação escalar:
Passo 5
(Distributividade)
- Distributividade em relação à adição de vetores:
- Distributividade em relação à adição de escalares:
Resposta
Como todos os dez axiomas estão satisfeitos, concluímos que
com as operações dadas é um espaço vetorial sobre
.