Para que um conjunto, associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar, seja considerado um espaço vetorial, deve satisfazer aos 10 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são espaços vetoriais, verificando a validade de cada axioma.
, o conjunto dos polinômios de grau
a valores reais:
Escalares
Adição
.
Multiplicação por escalar
Adição
Multiplicação por escalar
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, o conjunto dos polinômios de grau
com coeficientes reais, é um espaço vetorial sobre
quando equipado com
e
Para isso, vamos verificar os
axiomas de espaço vetorial:
. Fechamento da adição
. Comutatividade da adição
. Associatividade da adição
. Existência de elemento neutro aditivo
. Existência de inverso aditivo
. Fechamento da multiplicação por escalar
. Identidade escalar
. Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores
. Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares
. Associatividade da multiplicação escalar
Passo 2
Verificamos o fechamento da adição. Se
então
é ainda um polinômio de grau
. Logo
.
Passo 3
Comutatividade da adição: para quaisquer
,
Passo 4
Associatividade da adição: para
,
Passo 5
Existência do elemento neutro aditivo. O polinômio zero
está em
e satisfaz
para todo
.
Passo 6
Existência de inverso aditivo. Para
, definimos
Então
, o que mostra que
é o inverso aditivo de
.
Passo 7
Fechamento da multiplicação por escalar. Se
e
então
é também um polinômio de grau
, logo
.
Passo 8
Identidade escalar: para todo
,
ou seja,
.
Passo 9
Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores: para
e
,
Passo 10
Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares: para
e
,
Passo 11
Associatividade da multiplicação escalar: para
e
,
Resposta
Todos os
axiomas estão satisfeitos, logo
é um espaço vetorial sobre
.