Para que um conjunto, associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar, seja considerado um espaço vetorial, deve satisfazer aos 10 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são espaços vetoriais, verificando a validade de cada axioma.
Pn(R), o conjunto dos polinômios de grau <= n a valores reais:
f(t)=sumk=0^n ak t^k=a0+a1 t+cdots+an t^n
Escalares alpha in R
Adição (f+g)(t)=f(t)+g(t).
Multiplicação por escalar (alpha f)(t)=alpha f(t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que Pn(R), o conjunto dos polinômios de grau <= n com coeficientes reais, é um espaço vetorial sobre R quando equipado com
(f+g)(t)=f(t)+g(t)
e
(alpha f)(t)=alpha f(t)
Para isso, vamos verificar os 10 axiomas de espaço vetorial:
1. Fechamento da adição
2. Comutatividade da adição
3. Associatividade da adição
4. Existência de elemento neutro aditivo
5. Existência de inverso aditivo
6. Fechamento da multiplicação por escalar
7. Identidade escalar
8. Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores
9. Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares
10. Associatividade da multiplicação escalar

Passo 2

Verificamos o fechamento da adição. Se
f(t)=sumk=0^n ak t^k e g(t)=sumk=0^n bk t^k,
então
(f+g)(t)=sumk=0^n (ak+bk),t^k
é ainda um polinômio de grau <= n. Logo f+gin Pn( R).

Passo 3

Comutatividade da adição: para quaisquer f,gin Pn( R),
(f+g)(t)=f(t)+g(t)=g(t)+f(t)=(g+f)(t)

Passo 4

Associatividade da adição: para f,g,hin Pn( R),
l(f+(g+h)r)(t) =f(t)+l(g(t)+h(t)r) =l(f(t)+g(t)r)+h(t) =l((f+g)+hr)(t)

Passo 5

Existência do elemento neutro aditivo. O polinômio zero
0(t)=0
está em Pn( R) e satisfaz (f+0)(t)=f(t) para todo f.

Passo 6

Existência de inverso aditivo. Para f(t)=sum ak t^k, definimos
(-f)(t)=sum (-ak),t^k
Então (f+(-f))(t)=0(t), o que mostra que -f é o inverso aditivo de f.

Passo 7

Fechamento da multiplicação por escalar. Se alphain R e
f(t)=sumk=0^n ak t^k,
então
(alpha f)(t)=sumk=0^n (alpha ak),t^k
é também um polinômio de grau <= n, logo alpha fin Pn( R).

Passo 8

Identidade escalar: para todo fin Pn( R),
(1cdot f)(t)=1cdot f(t)=f(t),
ou seja, 1cdot f=f.

Passo 9

Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores: para alphain R e f,gin Pn( R),
l(alpha(f+g)r)(t) =alphal(f(t)+g(t)r) =alpha f(t)+alpha g(t) =l(alpha f+alpha gr)(t)

Passo 10

Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares: para alpha,betain R e fin Pn( R),
l((alpha+beta)fr)(t) =(alpha+beta),f(t) =alpha f(t)+beta f(t) =l(alpha f+beta fr)(t)

Passo 11

Associatividade da multiplicação escalar: para alpha,betain R e fin Pn( R),
l(alpha(beta f)r)(t) =alphal(beta f(t)r) =(alphabeta)f(t) =l((alphabeta)fr)(t)

Resposta

Todos os 10 axiomas estão satisfeitos, logo Pn(R) é um espaço vetorial sobre R.

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