Considere o seguinte sistema linear :
l x-y=b1-a1 y-z=b2-a2 z-w=b3-a3 x-w=a4-b4
onde a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3 e b4 são parâmetros reais. Qual a relação entre os parâmetros de forma que o sistema seja :
(a) SPD
(b) SPI
(c) SI

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar o sistema em quatro incógnitas
onde (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}] são parâmetros reais. Vamos usar conceitos de posto de matriz (rank) e condição de consistência para classificar o sistema em SPD (possível e determinado), SPI (possível e indeterminado) ou SI (impossível).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes e o vetor de termos independentes :
Observe que a soma das três primeiras linhas de é exatamente a quarta linha:
Logo .

Passo 3

Como o número de incógnitas é 4 e o posto de A é 3, nunca teremos posto igual a 4. Portanto o sistema não pode ser SPD: não há condição de parâmetros que torne o sistema possível e determinado.

Passo 4

Para que o sistema seja possível, é preciso que o posto da matriz ampliada também seja . Isso exige que o mesmo laço linear entre as linhas de valha também para os termos independentes, ou seja,
Quando essa igualdade ocorre, temos e, como há 4 incógnitas, surge infinidade de soluções. Logo, o sistema é SPI se e somente se

Passo 5

Se, por outro lado,
então , e o sistema não tem solução (é SI).

Resposta

(a) SPD: não existe nenhuma relação (o sistema nunca é possível e determinado).
(b) SPI: (b1-a1)+(b2-a2)+(b3-a3) = a4-b4
(c) SI: (b1-a1)+(b2-a2)+(b3-a3) neq a4-b4

Exercícios relacionados