Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial P(R)? Justifique.
Os polinômios da forma p(t)=a t^3 com a in R.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = ,pin P(R) mid p(t)=a,t^3, ainR
e pede para verificar se S é subespaço do espaço vetorial P(R). Para isso vamos usar o critério de subespaço: mostrar que (i) o polinômio zero pertence a S, (ii) S é fechado sob soma e (iii) S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero está em S. Basta escolher a=0 em
p(t) = a,t^3
Isso produz o polinômio zero p(t)=0, logo 0in S.

Passo 3

Verificamos a fechamento de S sob soma. Tomemos
p1(t)=a,t^3, p2(t)=b,t^3,
com a,binR. Então
p1(t)+p2(t) = a,t^3 + b,t^3 = (a+b),t^3
Como a+binR, o polinômio soma também está em S.

Passo 4

Verificamos o fechamento de S sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
p(t)=a,t^3in S
Então
lambda,p(t) = lambda,(a,t^3) = (lambda a),t^3
Como lambda ainR, segue que lambda pin S.

Passo 5

Como S contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S é subespaço de P(R).

Resposta

O conjunto dos polinômios da forma p(t)=a,t^3 é de fato um subespaço de P(R).

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