Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique.
Os polinômios da forma
com
.
Os polinômios da forma
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se
é subespaço do espaço vetorial
. Para isso vamos usar o critério de subespaço: mostrar que (i) o polinômio zero pertence a
, (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero está em
. Basta escolher
em
Isso produz o polinômio zero
, logo
.
Passo 3
Verificamos a fechamento de
sob soma. Tomemos
com
. Então
Como
, o polinômio soma também está em
.
Passo 4
Verificamos o fechamento de
sob multiplicação escalar. Seja
e
Então
Como
, segue que
.
Passo 5
Como
contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço de
.
Resposta
O conjunto dos polinômios da forma
é de fato um subespaço de
.