O conjunto B=\{(1,-2),(0,1)\} é uma base do \mathbb{R}^{2} em relação ao produto interno
\left(x_{1}, y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}, y_{2}\right)=4 x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}
Determinar a partir de B uma base ortonormal, use o processo de GramSchmidt.
OBS: |u|=\sqrt{u \cdot u}

Passo 1

O enunciado dá a base B=\{v_{1},v_{2}\} de \mathbb{R}^{2} com
v_{1}=(1,-2),\quad v_{2}=(0,1)
e o produto interno
(x_{1},y_{1})\cdot(x_{2},y_{2})=4x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.
Queremos usar o processo de Gram–Schmidt:
e_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|},\qquad u_{2}=v_{2}-\langle v_{2},e_{1}\rangle e_{1},\qquad e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}.

Passo 2

Calculamos primeiro
\|v_{1}\|=\sqrt{\langle v_{1},v_{1}\rangle} =\sqrt{4\cdot1^{2}+(-2)^{2}} =\sqrt{4+4} =\sqrt{8}=2\sqrt2.
Logo
e_{1}=\frac{v_{1}}{2\sqrt2} =\Bigl(\frac1{2\sqrt2},-\frac2{2\sqrt2}\Bigr) =\Bigl(\frac1{2\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\Bigr).

Passo 3

Agora projetamos v_{2} sobre e_{1}. Primeiro
\langle v_{2},e_{1}\rangle =4\cdot0\cdot\frac1{2\sqrt2}+1\cdot\Bigl(-\frac1{\sqrt2}\Bigr) =-\frac1{\sqrt2}.
Então
u_{2}=v_{2}-\langle v_{2},e_{1}\rangle e_{1} =(0,1)-\Bigl(-\frac1{\sqrt2}\Bigr)\Bigl(\frac1{2\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\Bigr) =(0,1)+\Bigl(\tfrac14,-\tfrac12\Bigr) =\Bigl(\tfrac14,\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Calculamos
\|u_{2}\| =\sqrt{\langle u_{2},u_{2}\rangle} =\sqrt{4\cdot\bigl(\tfrac14\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac14+\tfrac14} =\sqrt{\tfrac12} =\frac1{\sqrt2}.
Logo
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|} =\sqrt2\Bigl(\tfrac14,\tfrac12\Bigr) =\Bigl(\frac{\sqrt2}{4},\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) =\Bigl(\frac1{2\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\Bigr).

Resposta

Uma base ortonormal para \mathbb{R}^{2} é
e_{1}=\Bigl(\tfrac1{2\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\Bigr), \quad e_{2}=\Bigl(\tfrac1{2\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).

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