Verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^{3} (utilize a adição e a multiplicação por escalar usual)
S=\{(x, y, z) \mid x=-y, z=x\}

Passo 1

Resumimos: o enunciado define
S = \{(x,y,z)\mid x=-y,\;z=x\}
e pede para verificar se S é subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos checar:
  1. S\neq\emptyset (contém o vetor zero).
  2. Fechamento em adição.
  3. Fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero: seja (0,0,0). Ele satisfaz
0 = -0 \quad\text{e}\quad 0 = 0,
logo (0,0,0)\in S. Assim S\neq\emptyset.

Passo 3

Tomemos
u=(x_1,y_1,z_1),\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in S.
Então para i=1,2 vale x_i=-y_i e z_i=x_i. A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Como
x_1+x_2 = -(y_1+y_2) \quad\text{e}\quad z_1+z_2 = x_1+x_2,
segue u+v\in S. Logo S é fechado em adição.

Passo 4

Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1,z_1)\in S. Então
\alpha u=(\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1).
Como
\alpha x_1=\alpha(-y_1)=-(\alpha y_1)
e
\alpha z_1=\alpha x_1,
segue \alpha u\in S. Logo S é fechado em multiplicação por escalar.

Passo 5

Como S contém o vetor zero e é fechado em adição e em multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim, S é subespaço de \mathbb{R}^3.

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