Seja v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right) e v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right). Verificar se a operação abaixo é um produto interno em \mathbb{R}^{2}
v_{1} \cdot v_{2}=2 x_{1} y_{1}+3 x_{2} y_{2}
Para definir um produto interno temos que atender:
P1) u \cdot v=v \cdot u
P2) u \cdot(v+w)=u \cdot v+u \cdot w
\mathrm{P} 3)(\alpha u) \cdot v=\alpha(u \cdot v) para todo \alpha real
P4) u \cdot u \geq 0 e u \cdot u=0 se, somente se, u=0

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 a aplicação
v_{1}\cdot v_{2}=2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2},
onde v_{1}=(x_{1},y_{1}) e v_{2}=(x_{2},y_{2}), e pede para verificar se isso é produto interno, testando as propriedades P1–P4.

Passo 2

Verificamos P1 (simetria), que exige
v_{1}\cdot v_{2}=v_{2}\cdot v_{1}.
Mas
v_{1}\cdot v_{2}=2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}, \quad v_{2}\cdot v_{1}=2x_{2}y_{2}+3x_{1}y_{1}.
Em geral 2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}\neq2x_{2}y_{2}+3x_{1}y_{1}, de modo que P1 falha. Logo não é produto interno.

Resposta

A operação não é um produto interno em \mathbb{R}^{2}, pois não satisfaz a propriedade de simetria (P1).

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