Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x+3 y-z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid 2x+3y - z = 0\}
é um subespaço de V=\mathbb{R}^3. Para isso, vamos verificar três propriedades fundamentais:
  1. O vetor zero está em W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo x=y=z=0 na equação de W obtemos
2\cdot 0 + 3\cdot 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. Seja
u = (x_1,y_1,z_1)\in W \quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Como u,v\in W, temos
2x_1+3y_1 - z_1 = 0 \quad\text{e}\quad 2x_2+3y_2 - z_2 = 0.
Para u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2), calculemos
2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)-(z_1+z_2) =(2x_1+3y_1-z_1)+(2x_2+3y_2-z_2) =0+0 =0.
Logo u+v\in W.

Passo 4

Verificar fechamento sob escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in W, de modo que
2x+3y - z = 0.
Para \alpha u = (\alpha x,\alpha y,\alpha z) temos
2(\alpha x)+3(\alpha y)-(\alpha z) =\alpha\,(2x+3y - z) =\alpha\cdot 0 =0,
portanto \alpha u\in W.

Resposta

W é subespaço de V=\mathbb{R}^3.

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