Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
(a) \left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: b=a+c, d=c\right\}
(b) \left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: a+d=b+c\right\}

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de matrizes 2\times2 em \mathbb{R} e pede, para cada conjunto, a dimensão e uma base do subespaço resultante. As informações que temos são:
(a) O conjunto
\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} : b=a+c,\; d=c\right\}.
Pergunta: determinar a dimensão e uma base desse subespaço.
(b) O conjunto
\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} : a+d=b+c\right\}.
Pergunta: determinar a dimensão e uma base desse subespaço.
Estas são as condições dadas pelo enunciado e as perguntas que devemos responder. Não vou resolver nada ainda neste passo; apenas identifiquei o que é pedido e quais restrições as matrizes satisfazem.

Passo 2

Vamos começar por (a). A condição em (a) é b=a+c e d=c. Isso significa que os elementos das matrizes não são todos independentes: os parâmetros livres podem ser escolhidos e os outros são expressos em função deles.
Escrevo uma matriz genérica do conjunto usando apenas os parâmetros independentes. Tomo a e c como parâmetros livres (pois b e d são dados por a e c). Assim
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a+c \\\ c & c\end{pmatrix}.
Aqui explico por que escolhi a e c: a condição b=a+c faz com que b seja determinado por a e c; a condição d=c faz com que d seja igual a c. Logo apenas a e c são livres.

Passo 3

Agora escrevo a matriz em (a) como combinação linear de matrizes que não dependem mais de relacionamentos entre entradas. Agrupo os termos com a e com c:
\begin{pmatrix}a & a+c \\\ c & c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Explicação didática: escrevemos a matriz como a vezes uma matriz fixa mais c vezes outra matriz fixa. Isso mostra que todo vetor (matriz) do subespaço pode ser gerado por essas duas matrizes fixas — dizemos que o subespaço está contido no span (espaço gerado) dessas duas matrizes.

Passo 4

Para concluir que as duas matrizes
M_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
formam uma base, preciso mostrar que elas geram todo o subespaço (já mostrado no passo anterior) e que são linearmente independentes.
Mostro independência linear: suponha que existam escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha M_1 + \beta M_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevo as equações entrada a entrada:
  • Entrada (1,2): \alpha + \beta = 0.
  • Entrada (2,1): 0\cdot\alpha + 1\cdot\beta = \beta = 0.
    Da segunda equação segue \beta=0. Substituindo em \alpha+\beta=0 obtemos \alpha=0. Assim só existe a solução trivial \alpha=\beta=0, logo M_1 e M_2 são linearmente independentes.

Passo 5

Conclusão para (a): o subespaço é gerado por duas matrizes linearmente independentes, portanto a dimensão é 2 e uma base é formada por
\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Pequena verificação numérica para fixar a ideia: se a=2 e c=3, então a matriz do conjunto é
\begin{pmatrix}2 & 5 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix} =2M_1+3M_2,
o que bate com a decomposição acima.

Passo 6

Agora passamos a (b). A condição é
a+d=b+c.
Isso é uma única equação linear entre as quatro entradas a,b,c,d, portanto esperamos que haja três graus de liberdade (quatro incógnitas menos uma relação), sugerindo dimensão 3. Vou fazer isso explicitando um parâmetro livre.
Escolho b,c,d como parâmetros livres e escrevo a em função deles a partir de a+d=b+c. Assim
a = b + c - d.
Portanto uma matriz geral do subespaço pode ser escrita como
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b+c-d & b \\\ c & d\end{pmatrix}.
Explicação: escolhi b,c,d livres apenas por conveniência; qualquer outra escolha equivalente (por exemplo escolher a,b,c livres) daria também uma descrição com três parâmetros.

Passo 7

Escrevo agora a matriz em (b) como combinação linear das matrizes correspondentes aos parâmetros b,c,d. Separe os coeficientes:
\begin{pmatrix}b+c-d & b \\\ c & d\end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Esse cálculo é feito reunindo os termos multiplicados por b, c e d em matrizes fixas. Assim todo elemento do subespaço pode ser escrito como combinação linear dessas três matrizes; elas geram o subespaço.

Passo 8

Agora verifico que essas três matrizes são linearmente independentes. Chamo-as
N_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad N_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad N_3=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha N_1 + \beta N_2 + \gamma N_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando entrada a entrada obtenho o sistema:
  • Entrada (1,1): \alpha + \beta - \gamma = 0.
  • Entrada (1,2): \alpha = 0.
  • Entrada (2,1): \beta = 0.
  • Entrada (2,2): \gamma = 0.
Das últimas três equações vem \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto só existe a solução trivial, logo N_1,N_2,N_3 são linearmente independentes.

Passo 9

Conclusão para (b): como encontramos três matrizes que geram o subespaço e são linearmente independentes, a dimensão do subespaço é 3. Uma base conveniente é
\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Um exemplo numérico para fixar: se b=1,c=2,d=0 então a=b+c-d=3 e a matriz é
\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot N_1 + 2\cdot N_2 + 0\cdot N_3,
o que confirma a decomposição.

Resposta

(a) dimensão 2. Base: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}\right\}
(b) dimensão 3. Base: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\}

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