Seja V=\mathcal{F}([0,2 \pi]). Verifique se o conjunto \left\{1, \cos ^{2} x, \operatorname{sen}^{2} x\right\} é l.i. ou l.d. em \mathcal{F}([0,2 \pi]).

Passo 1

O enunciado dá o espaço V=\mathcal{F}([0,2\pi]) (funções reais em [0,2\pi]) e o conjunto
\{\,1,\;\cos^{2}x,\;\sin^{2}x\,\}.
A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente (l.i.) ou linearmente dependente (l.d.) em V?
Informações relevantes dadas/úteis: a identidade trigonométrica clássica
\cos^{2}x+\sin^{2}x=1
vale para todo x\in[0,2\pi].

Passo 2

Definição (explicada devagarinho): um conjunto de funções \{f_{1},f_{2},f_{3}\} em V é linearmente dependente se existem escalares a,b,c, nem todos zero, tais que a combinação linear
a f_{1}(x)+b f_{2}(x)+c f_{3}(x)=0
para todo x no domínio — aqui 0 significa a função identicamente nula (ou seja, o valor 0 para todo x). Se a única forma de obter a função nula é tomando a=b=c=0, o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica mencionada no Passo 1. Reescrevendo,
1-\cos^{2}x-\sin^{2}x=0
para todo x\in[0,2\pi]. Isso mostra uma combinação linear entre as três funções: tomando a=1, b=-1, c=-1 temos
1\cdot 1 + (-1)\cdot\cos^{2}x + (-1)\cdot\sin^{2}x = 0
para todo x. Como os coeficientes 1,-1,-1 não são todos zero, encontramos uma relação linear não trivial que anula as funções.

Passo 4

Interpretação didática: a igualdade acima diz que a função 1 é combinação linear de \cos^{2}x e \sin^{2}x, ou seja
1 = \cos^{2}x+\sin^{2}x.
Portanto, uma das funções do conjunto é redundante — existe dependência linear. (Se quiser confirmar como exercício: \cos^{2}x e \sin^{2}x isoladamente são l.i.: se A\cos^{2}x+B\sin^{2}x\equiv0, avaliando em x=0 A=0 e avaliando em x=\tfrac{\pi}{2} B=0.)

Resposta

Linearmente dependentes.

Exercícios relacionados