Seja
. Verifique se o conjunto
é l.i. ou l.d. em
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço
(funções reais em
) e o conjunto
A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente (l.i.) ou linearmente dependente (l.d.) em
?
Informações relevantes dadas/úteis: a identidade trigonométrica clássica
Informações relevantes dadas/úteis: a identidade trigonométrica clássica
vale para todo
.
Passo 2
Definição (explicada devagarinho): um conjunto de funções
em
é linearmente dependente se existem escalares
, nem todos zero, tais que a combinação linear
para todo
no domínio — aqui
significa a função identicamente nula (ou seja, o valor
para todo
). Se a única forma de obter a função nula é tomando
, o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica mencionada no Passo 1. Reescrevendo,
para todo
. Isso mostra uma combinação linear entre as três funções: tomando
,
,
temos
para todo
. Como os coeficientes
não são todos zero, encontramos uma relação linear não trivial que anula as funções.
Passo 4
Interpretação didática: a igualdade acima diz que a função
é combinação linear de
e
, ou seja
Portanto, uma das funções do conjunto é redundante — existe dependência linear. (Se quiser confirmar como exercício:
e
isoladamente são l.i.: se
, avaliando em
dá
e avaliando em
dá
.)
Resposta
Linearmente dependentes.