(Conjunto de Cantor) Mostre que o conjunto de Cantor é não enumerável em
(uma boa maneira de ver que ele é não enumerável é trabalhar com uma caracterização do conjunto de Cantor na base 3).
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que o conjunto de Cantor é não enumerável (ou seja, não dá pra colocar todos os seus pontos numa lista infinita). O conteúdo principal é teoria de conjuntos e cardinalidade infinito, e vamos precisar da caracterização do conjunto de Cantor em base 3 e do argumento de diagonalização de Cantor.
Passo 2
O conjunto de Cantor pode ser descrito como o conjunto de todos os números em
cuja expansão ternária usa apenas os dígitos 0 e 2. Em bloco, escrevemos
Esta caracterização vem do processo de remoção dos terços do meio.
Passo 3
Para mostrar que
é não enumerável, construímos uma bijeção entre
e o conjunto de todas as sequências binárias
. Se
tem expansão ternária
com
, definimos a sequência binária correspondente por
É fácil ver que este mapeamento é bijetivo.
Passo 4
Agora precisamos lembrar que o conjunto
é não enumerável. Suponha, por absurdo, que haja uma enumeração
de sequências, onde cada com
. Definimos uma nova sequência
por
de sequências, onde cada
Pela construção,
difere de
na posição
, logo não pode estar na lista — contradição.
Passo 5
Como há bijeção entre
e
e este último é não enumerável, concluímos que o conjunto de Cantor
também é não enumerável.
Resposta
O conjunto de Cantor é não enumerável (tem cardinalidade do contínuo).