(Conjunto de Cantor) Mostre que o conjunto de Cantor é não enumerável em B((0,1]) (uma boa maneira de ver que ele é não enumerável é trabalhar com uma caracterização do conjunto de Cantor na base 3).

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que o conjunto de Cantor é não enumerável (ou seja, não dá pra colocar todos os seus pontos numa lista infinita). O conteúdo principal é teoria de conjuntos e cardinalidade infinito, e vamos precisar da caracterização do conjunto de Cantor em base 3 e do argumento de diagonalização de Cantor.

Passo 2

O conjunto de Cantor pode ser descrito como o conjunto de todos os números em [0,1] cuja expansão ternária usa apenas os dígitos 0 e 2. Em bloco, escrevemos
C = lxin[0,1]:x=0d1d2d3dots3 e cada diin0,2r
Esta caracterização vem do processo de remoção dos terços do meio.

Passo 3

Para mostrar que C é não enumerável, construímos uma bijeção entre C e o conjunto de todas as sequências binárias 0,1^N. Se xin C tem expansão ternária x=0d1d2d3dots3 com diin0,2, definimos a sequência binária correspondente por
f(x)=0e1e2e3dots2, ei=di2in0,1
É fácil ver que este mapeamento é bijetivo.

Passo 4

Agora precisamos lembrar que o conjunto 0,1^N é não enumerável. Suponha, por absurdo, que haja uma enumeração
s^n=(s^n1,s^n2,dots)
de sequências, onde cada s^niin0,1 com g=(g1,g2,dots). Definimos uma nova sequência gi = 1 - s^ii por
g
Pela construção, s^i difere de i na posição , logo não pode estar na lista — contradição.

Passo 5

Como há bijeção entre C e 0,1^N e este último é não enumerável, concluímos que o conjunto de Cantor C também é não enumerável.

Resposta

O conjunto de Cantor é não enumerável (tem cardinalidade do contínuo).

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