Explique por que esse exemplo leva a necessidade de sigma-álgebra na definição de espaço de medida.

Passo 1

Nesse exemplo, partimos da tentativa de atribuir uma medida a todos os subconjuntos de um segmento (digamos, [0,1]) de forma que a medida seja invariante por translação e conte a propriedade de aditividade contável. Para isso precisaríamos de uma coleção de conjuntos sobre a qual a medida está definida e que seja fechada sob operações de complemento e uniões contáveis. O conteúdo aqui é teoria de medida e a necessidade de \x1bsigma\x1b-álgebra.

Passo 2

Para ver o problema na prática, lembramos da construção do conjunto de Vitali: selecionamos um representante de cada classe de equivalência de \x1b[0,1]\x1b mod 1 (ou seja, dois pontos são equivalentes se diferem por um número racional). Chamamos esse representante de V. As réplicas racionais de V (isto é, V + q para cada q em ℚ ∩ [−1,1]) são disjuntas e sua união (em certo sentido) cobre [0,1].

Passo 3

Suponhamos que V seja mensurável e atribuímos a ela uma medida m = μ(V). Pela invariância por translação, cada V + q teria medida m. Como há contavelmente muitos racionais em [−1,1], a soma das medidas seria infinita se m>0, ou zero se m=0. Mas, por outro lado, essa união contável deve dar medida μ([0,1]) = 1. Isso gera uma contradição: contabilidade infinita de m não encaixa em 1. O cerne do problema é que precisamos usar aditividade contável e a união de todos esses V+q deve pertencer ao domínio da medida.

Passo 4

Para aplicar de forma consistente essa aditividade contável, precisamos que o domínio da medida seja fechado sob uniões contáveis e complementos — exatamente as propriedades que definem uma \x1bσ-álgebra\x1b. Assim, só podemos confiar numa teoria de medida quando trabalhamos sobre uma σ-álgebra, garantindo que toda união contável de conjuntos medíveis (e todo complemento) permaneça dentro do universo onde a medida está definida.

Passo 5

Portanto, esse exemplo ilustra que coleções de conjuntos fechadas apenas sob operações finitas (álgebras) não bastam para suportar a aditividade contável exigida em teoria de medida. A saída é definir o espaço de medida sobre uma σ-álgebra, assegurando a consistência da medida em uniões e complementos contáveis.

Resposta

Precisamos de σ-álgebra para garantir que o domínio da medida seja fechado sob uniões contáveis (e complementos), evitando paradoxos como o do conjunto de Vitali e assegurando o funcionamento consistente da aditividade contável na definição de espaço de medida.

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