(Conjunto de Vitali II) Suponha uma medida
não nula, sigma aditiva e invariante por translações nos plano. Prove detalhadamente que existe um subconjunto do quadrado
que não é
mensurável.
Passo 1
Resumindo o problema: temos uma medida
não nula, sigma aditiva e invariante por translações em
, e queremos mostrar que existe um subconjunto de
que não é
-mensurável. Vamos usar a construção clássica do conjunto de Vitali via relação de equivalência por vetores racionais e o axioma da escolha.
Passo 2
Definimos a relação de equivalência em
por
se e somente se
. É fácil verificar que isso é reflexivo, simétrico e transitivo, logo particiona
em classes disjuntas.
Passo 3
Usando o axioma da escolha, escolhemos um representante em cada classe de equivalência que intersecta
. Denotamos o conjunto desses representantes por
. Esse
é o nosso candidato a conjunto não mensurável.
Passo 4
Para cada vetor racional
, consideramos o conjunto traduzido
. Pela definição de classes, se
então
; ou seja, essas traduções são mutuamente disjuntas.
Passo 5
Mostramos agora que a união das traduções cobre
e está contida em um quadrado de medida finita. Por construção de representantes, temos
e como cada
está em
, segue também
cuja medida
é finita pela sigma-aditividade e invariância por translação.
Passo 6
Suponha, por absurdo, que
seja
-mensurável. Então, pela invariância por translação e sigma-aditividade, temos
Se
, a soma é zero e implicaria
, contradizendo que
é não nula. Se
, a soma diverge, o que geraria
, em oposição à finitude dessa medida.
Passo 7
Concluímos que a hipótese de
-mensurabilidade de
leva a contradições em ambos os casos, logo
não é
-mensurável.
Resposta
O conjunto de Vitali
construído acima não é
-mensurável.