(Conjunto de Vitali II) Suponha uma medida mu não nula, sigma aditiva e invariante por translações nos plano. Prove detalhadamente que existe um subconjunto do quadrado [0,1]^2 que não é mu mensurável.

Passo 1

Resumindo o problema: temos uma medida mu não nula, sigma aditiva e invariante por translações em R^2, e queremos mostrar que existe um subconjunto de [0,1]^2 que não é mu-mensurável. Vamos usar a construção clássica do conjunto de Vitali via relação de equivalência por vetores racionais e o axioma da escolha.

Passo 2

Definimos a relação de equivalência em R^2 por x sim y se e somente se x - y in Q^2. É fácil verificar que isso é reflexivo, simétrico e transitivo, logo particiona R^2 em classes disjuntas.

Passo 3

Usando o axioma da escolha, escolhemos um representante em cada classe de equivalência que intersecta [0,1]^2. Denotamos o conjunto desses representantes por Vsubseteq [0,1]^2. Esse V é o nosso candidato a conjunto não mensurável.

Passo 4

Para cada vetor racional qin Q^2cap[-1,1]^2, consideramos o conjunto traduzido V+q=v+q: vin V. Pela definição de classes, se qneq q' então (V+q)cap (V+q')=emptyset; ou seja, essas traduções são mutuamente disjuntas.

Passo 5

Mostramos agora que a união das traduções cobre [0,1]^2 e está contida em um quadrado de medida finita. Por construção de representantes, temos
cupqin Q^2cap[-1,1]^2(V+q)supseteq [0,1]^2,
e como cada q está em [-1,1]^2, segue também
cupqin Q^2cap[-1,1]^2(V+q)subseteq [-1,2]^2,
cuja medida mu([-1,2]^2) é finita pela sigma-aditividade e invariância por translação.

Passo 6

Suponha, por absurdo, que V seja mu-mensurável. Então, pela invariância por translação e sigma-aditividade, temos
mul(cupq(V+q)r)=sumqin Q^2cap[-1,1]^2mu(V+q)=sumqin Q^2cap[-1,1]^2mu(V)
Se mu(V)=0, a soma é zero e implicaria mu([0,1]^2)=0, contradizendo que mu é não nula. Se mu(V)>0, a soma diverge, o que geraria mu([-1,2]^2)=infty, em oposição à finitude dessa medida.

Passo 7

Concluímos que a hipótese de mu-mensurabilidade de V leva a contradições em ambos os casos, logo V não é mu-mensurável.

Resposta

O conjunto de Vitali Vsubseteq [0,1]^2 construído acima não é mu-mensurável.

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