Dado (X, F, mu) um espaço de medida. Sejam A1, A2, ldots in F. então
mu(cupN capn=N^infty An) <= liminf mu(An)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço de medida (X,F,mu), vale a desigualdade
mul(cupN=1^inftycapn=N^inftyAnr)<=liminfntoinftymu(An)
Isso faz parte da Teoria de Medida: vamos usar monotonicidade da medida e sua continuidade de baixo (continuidade por união crescente).

Passo 2

Definimos para cada N>=1 o conjunto
CN=capn=N^inftyAn
Note que para todo n>= N temos CNsubseteq An. Pela monotonicidade de mu isso dá
mu(CN)<=mu(An)para todo n>= N,
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mu(CN)<=infn>= Nmu(An)

Passo 3

Tomando o limite quando Ntoinfty em ambos os lados, obtemos
limNtoinftymu(CN)<=limNtoinftyinfn>= Nmu(An)=liminfntoinftymu(An)

Passo 4

Observamos que a sequência (CN)N=1^infty é crescente, pois CN=capn>= NAnsubseteqcapn>= N+1An=CN+1. Pela continuidade de baixo da medida:
mul(cupN=1^inftyCNr)=limNtoinftymu(CN)

Passo 5

Por definição de liminf de conjuntos temos
cupN=1^inftyCN=cupN=1^inftycapn=N^inftyAn
e combinando com o passo anterior concluímos a desigualdade desejada.

Passo 6

Juntando tudo, ficamos com
mul(cupN=1^inftycapn=N^inftyAnr)=limNtoinftymu(CN)<=liminfntoinftymu(An)

Resposta

Foi provado que
mul(cupN=1^inftycapn=N^inftyAnr)<=liminfntoinftymu(An)

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