Dado
um espaço de medida. Sejam
. então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço de medida
, vale a desigualdade
Isso faz parte da Teoria de Medida: vamos usar monotonicidade da medida e sua continuidade de baixo (continuidade por união crescente).
Passo 2
Definimos para cada
o conjunto
Note que para todo
temos
. Pela monotonicidade de
isso dá
logo
Passo 3
Tomando o limite quando
em ambos os lados, obtemos
Passo 4
Observamos que a sequência
é crescente, pois
. Pela continuidade de baixo da medida:
Passo 5
Por definição de
de conjuntos temos
e combinando com o passo anterior concluímos a desigualdade desejada.
Passo 6
Juntando tudo, ficamos com
Resposta
Foi provado que