(
-álgebra induzida) Suponha que
é uma
-álgebra em
e seja
um subconjunto de
(não necessariamente em
). Prove que
é
-álgebra em
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma σ-álgebra
sobre um espaço
e um subconjunto qualquer
. Queremos mostrar que
é uma σ-álgebra em “
”. Vamos usar que uma σ-álgebra precisa conter o espaço todo, ser fechada por complementos e por uniões contáveis.
Passo 2
Para mostrar que
contém o espaço todo de referência, basta observar que
(por hipótese) e portanto
Passo 3
Agora verificamos fechamento por complemento (relativo a “
”). Seja
. Então
para algum
. O complemento de
em
é
onde usamos De Morgan e
. Como
, temos
.
Passo 4
Por fim, para uniões contáveis, tomemos uma sequência
em
. Cada
com
. Então
Como
é σ-álgebra,
. Logo a união está em
.
Resposta
Logo,
satisfaz as três propriedades de σ-álgebra em
. Portanto, é de fato uma σ-álgebra sobre
.