( sigma-álgebra induzida) Suponha que F é uma sigma-álgebra em Omega e seja Omega0 um subconjunto de Omega (não necessariamente em F ). Prove que F cap Omega0:= sigma é Omega0-álgebra em .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma σ-álgebra F sobre um espaço Omega e um subconjunto qualquer Omega0subseteq Omega. Queremos mostrar que
FcapOmega0=FcapOmega0:FinF
é uma σ-álgebra em “ Omega0”. Vamos usar que uma σ-álgebra precisa conter o espaço todo, ser fechada por complementos e por uniões contáveis.

Passo 2

Para mostrar que FcapOmega0 contém o espaço todo de referência, basta observar que OmegainF (por hipótese) e portanto
Omega0=OmegacapOmega0inFcapOmega0:FinF

Passo 3

Agora verificamos fechamento por complemento (relativo a “ Omega0”). Seja
AinFcapOmega0. Então A=FcapOmega0 para algum FinF. O complemento de A em Omega0 é
Omega0setminus A =Omega0setminus(FcapOmega0) =Omega0cap(FcapOmega0)^c =Omega0cap(F^ccupOmega0^c) =Omega0cap F^c,
onde usamos De Morgan e Omega0capOmega0^c=emptyset. Como F^cinF, temos Omega0cap F^cinFcapOmega0.

Passo 4

Por fim, para uniões contáveis, tomemos uma sequência (An)n>=1 em FcapOmega0. Cada An=FncapOmega0 com FninF. Então
cupn=1^inftyAn =cupn=1^infty(FncapOmega0) =l(cupn=1^inftyFnr)capOmega0
Como F é σ-álgebra, cupn=1^inftyFninF. Logo a união está em FcapOmega0.

Resposta

Logo, FcapOmega0 satisfaz as três propriedades de σ-álgebra em Omega0. Portanto, é de fato uma σ-álgebra sobre Omega0.

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