Um tanque, com volume de 400 \mathrm{~m}^{3}, está sendo construído para armazenar gás natural liquefeito. Admita, neste problema, que o gás natural seja constituído por metano puro. Se o tanque deve conter 90 \% de líquido e 10 \% de vapor, em volume, a 100 kPa , qual será a massa em kg, de gás natural liquefeito contida no tanque? Qual será o título nesse estado?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou escrever tudo de forma bem clara para não se perder):
  • Volume total do tanque: V_{\text{total}}=400\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Fração volumétrica: 90\% do volume é líquido e 10\% é vapor, ambos à pressão 100\\ \mathrm{kPa}.
    As perguntas são:
  1. Qual a massa total de gás natural liquefeito (metano puro) contida no tanque, em kg?
  2. Qual o título nesse estado (ou seja, a fração mássica de vapor)?

Passo 2

Primeiro vamos calcular os volumes de cada fase (isso é direto, é só aplicar as porcentagens ao volume total):
  • Volume do líquido: V_{l}=0{,}90\cdot V_{\text{total}}=0{,}90\cdot 400=360\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume do vapor: V_{v}=0{,}10\cdot V_{\text{total}}=0{,}10\cdot 400=40\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Agora precisamos transformar esses volumes em massas. Aqui duas definições importantes (explico devagar):
  • Densidade \rho é a massa por unidade de volume: \rho=\dfrac{m}{V}. Logo m=\rho V.
  • Volume específico v é o volume por unidade de massa: v=\dfrac{V}{m}. Logo m=\dfrac{V}{v}.
    Para o líquido, é mais prático usar a densidade do líquido saturado. Para o vapor saturado podemos obter o volume específico (ou usar a equação dos gases, se aceitável).

Passo 4

Valor do líquido saturado (propriedade do metano a 100\\ \mathrm{kPa}):
  • Temperatura de ebulição do metano a 100\\ \mathrm{kPa} é aproximadamente -161{,}5^\circ\mathrm{C}, isto é T_{\text{sat}}=111{,}65\\ \mathrm{K}.
  • Densidade do metano líquido saturado nessa condição é aproximadamente \rho_{l}=422{,}62\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor típico tabelado para metano líquido à pressão próxima de 1\\ \text{atm}).
    Logo o volume específico do líquido é
v_{f}=\frac{1}{\rho_{l}}=\frac{1}{422{,}62}=0{,}002366\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
(Explicando: esse v_{f} significa que 1 kg de líquido ocupa 0{,}002366\\ \mathrm{m^3}.)

Passo 5

Volume específico do vapor saturado v_{g}.
Aqui vou usar a aproximação do gás ideal para o vapor saturado de metano a 100\\ \mathrm{kPa} — isso é aceitável para metano nessa condição e facilita o cálculo. A fórmula (Lei dos gases ideais) para volume específico é
v_{g}=\frac{R\,T_{\text{sat}}}{P},
onde:
  • R é a constante específica do gás (para metano): R=\frac{R_{u}}{M}=\frac{8{,}314\\ \mathrm{kPa\cdot m^{3}/(kmol\cdot K)}}{16{,}04\\ \mathrm{kg/kmol}}=0{,}5183\\ \mathrm{kPa\cdot m^{3}/(kg\cdot K)}.
  • T_{\text{sat}}=111{,}65\\ \mathrm{K} (já indicado);
  • P=100\\ \mathrm{kPa}.
Calculando:
v_{g}=\frac{0{,}5183\cdot 111{,}65}{100}=0{,}5787\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
(Explicando: isso significa que 1 kg de vapor ocupa cerca de 0{,}5787\\ \mathrm{m^3}.)

Passo 6

Agora calculamos as massas de cada fase usando m=\dfrac{V}{v} (ou m=\rho V para o líquido):
  • Massa do líquido:
m_{l}=\rho_{l}\,V_{l}=422{,}62\cdot 360=152\,143{,}2\\ \mathrm{kg}.
(ou usando m_l=V_l/v_f=360/0{,}002366 obtém-se o mesmo.)
  • Massa do vapor:
m_{v}=\frac{V_{v}}{v_{g}}=\frac{40}{0{,}5787}=69{,}14\\ \mathrm{kg}.
  • Massa total:
m_{\text{total}}=m_{l}+m_{v}=152\,143{,}2+69{,}14=152\,212{,}3\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Agora o título (qualidade) x é a fração mássica de vapor, definida por
x=\frac{m_{v}}{m_{\text{total}}}.
Calculando:
x=\frac{69{,}14}{152\,212{,}3}=4{,}543\times 10^{-4}\approx 0{,}0004543.
Em porcentagem:
x\approx 0{,}04543\\ \%.

Passo 8

Comentários rápidos sobre aproximações (úteis para prova):
  • Foi usado um valor tabelado para \rho_{l} (metano líquido a 100\\ \mathrm{kPa}), que é a forma correta em termodinâmica: para líquido saturado usa-se a densidade/v_f tabelada.
  • Para o vapor foi usada a lei dos gases ideais; para metano saturado a 1\\ \text{atm} essa aproximação é razoável e o vapor é muito pouco massivo aqui, então qualquer pequeno erro em v_g teria efeito desprezível na massa total.
  • Observe que quase toda a massa está no líquido (como esperado quando 90% do volume é líquido), por isso o total é praticamente a massa do líquido.

Resposta

m_{\text{total}}=1{,}52212\times 10^{5}\\ \mathrm{kg}
x=\dfrac{m_{v}}{m_{\text{total}}}=4{,}543\times 10^{-4}\approx 0{,}04543\\ \%

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