Mostre que, para qualquer espaço M e quaisquer subconjunto A, B \subset M, vale A=\operatorname{int}(A) \cup \partial(A) \mathrm{e}(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que, para qualquer espaço M e qualquer subconjunto A\subset M, vale
A=\operatorname{int}(A)\cup\partial(A).
Mostrar que, para quaisquer A,B\subset M,
(A\cup B)'=A'\cup B'.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: temos um espaço topológico arbitrário M e dois subconjuntos A,B\subset M. O apóstrofo ' indica o conjunto derivado (conjunto de pontos de acumulação ou de aderência por pontos diferentes de si mesmos). A notação \operatorname{int}(A) indica o interior de A e \partial(A) indica a fronteira (boundary) de A.
Observação importante (não é solução, apenas clarificação do que está sendo pedido): a igualdade da primeira linha, tal como escrita, é normalmente falsa para conjuntos arbitrários. Vou explicar por quê, corrigir a forma correta da identidade envolvendo \operatorname{int}(A) e \partial(A), e então provar as versões corretas. Em seguida vou provar a segunda igualdade sobre conjuntos derivados.
Passo 2
Definições e intuição — vamos entender direitinho cada objeto (aqui eu ensino a matéria que você precisa para provar as igualdades).
Definição de interior: \operatorname{int}(A) é o maior conjunto aberto contido em A. Formalmente,
\operatorname{int}(A)=\{x\in M : \exists\\ U\\ \text{aberto em }M\text{ com }x\in U\subset A\}.
Intuição: pontos interiores são aqueles que têm uma vizinhança totalmente dentro de A.
Definição de fronteira (boundary): \partial(A) é o conjunto dos pontos que, em toda vizinhança, intersectam tanto A quanto o complemento M\setminus A. Formalmente,
\partial(A)=\{x\in M : \forall\\ U\\ \text{aberto com }x\in U,\\ U\cap A\neq\varnothing\\ \text{e}\\ U\cap(M\setminus A)\neq\varnothing\}.
Definição de conjunto derivado: A' é o conjunto de pontos que são pontos de acumulação de A, i.e., pontos x tais que toda vizinhança de x contém algum ponto de A diferente de x. Formalmente,
A'=\{x\in M : \forall\\ U\\ \text{aberto com }x\in U,\\ (U\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing\}.
Intuição: x é ponto de acumulação de A se existem pontos de A arbitrariamente próximos de x (diferentes de x).
Essas definições são as ferramentas que vamos usar nas provas. Sempre que eu escrever "toda vizinhança U de x" quero dizer "todo conjunto aberto U com x\in U".
Passo 3
Análise da primeira igualdade pedida e correção: por que ela é, em geral, falsa?
A igualdade pedida era
A=\operatorname{int}(A)\cup\partial(A).
Mas usando a definição \partial(A)=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A) temos imediatamente
Portanto a união \operatorname{int}(A)\cup\partial(A) é exatamente \overline{A}, o fecho de A. Em palavras: interior mais fronteira cobre o fecho, não necessariamente A em si.
Isto é trivial a partir da definição: todo ponto de A ou é interior de A (pertence a \operatorname{int}(A)) ou não é interior, e se não é interior mas pertence a A então está em A\cap\partial(A). Esse é o jeito correto de “dividir” A em pontos interiores e pontos de fronteira que pertencem a A.
Para fixar a intuição com um exemplo simples (contrapondo o enunciado ingênuo): tome M=\mathbb{R} com a topologia usual e A=(0,1). Então
logo \operatorname{int}(A)\cup\partial(A)=[0,1]\neq A. Portanto a igualdade mencionada no enunciado não vale em geral. O correto é \overline{A}=[0,1].
Resumo desta etapa: a forma pedida no enunciado para a primeira igualdade precisa ser corrigida; vamos provar a versão correta \overline{A}=\operatorname{int}(A)\cup\partial(A) e também observar/mostrar A=\operatorname{int}(A)\cup(A\cap\partial(A)).
Passo 4
Prova detalhada de \overline{A}=\operatorname{int}(A)\cup\partial(A) (duas inclusões) e observação sobre disjunção.
Lembre que \partial(A)=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A) por definição (essa é uma igualdade padrão que dá a fronteira como fecho menos interior). A partir disso:
Se x\in\operatorname{int}(A) então x\in A\subset\overline{A}, logo x\in\overline{A}. Se x\in\partial(A)=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A) então, por definição, x\in\overline{A}. Assim qualquer ponto da união está em \overline{A}. Portanto
Se x\in\overline{A}, então ou x\in\operatorname{int}(A) (nesse caso já está na união) ou x\notin\operatorname{int}(A). Se x\notin\operatorname{int}(A) mas x\in\overline{A}, então, por definição de fronteira via fecho menos interior, x\in\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A)=\partial(A). Logo x\in\partial(A). Assim todo x\in\overline{A} pertence à união. Portanto
Observação sobre disjunção: por construção \partial(A)=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A), então \operatorname{int}(A)\cap\partial(A)=\varnothing. Assim a união é de fato uma união disjunta.
Passo 5
Prova de A=\operatorname{int}(A)\cup\big(A\cap\partial(A)\big). Esta é uma consequência imediata do raciocínio lógico: todo x\in A ou é interior de A (então x\in\operatorname{int}(A)) ou não é interior (então, se ainda pertence a A, pertence a A\cap\partial(A) porque pontos de A que não são interiores são precisamente os pontos de A que estão na fronteira). Formalmente:
Seja x\in A. Se existe uma vizinhança U de x com U\subset A então x\in\operatorname{int}(A). Caso contrário, para toda vizinhança U de x temos U\cap(M\setminus A)\neq\varnothing, e como x\in A também U\cap A\neq\varnothing; isto é exatamente a condição para x\in\partial(A). Portanto x\in A\cap\partial(A). Logo A\subset\operatorname{int}(A)\cup(A\cap\partial(A)). A inclusão inversa é óbvia porque \operatorname{int}(A)\subset A e A\cap\partial(A)\subset A. Assim
Esse passo mostra como separar os pontos de A entre os que são interior e os que são fronteira pertencente a A.
Passo 6
Agora provamos a segunda igualdade pedida:
(A\cup B)'=A'\cup B'.
Vou provar as duas inclusões com bastante cuidado, usando a definição de conjunto derivado (pontos de acumulação).
Definição usada repetidamente: X' é o conjunto dos x tais que toda vizinhança U de x satisfaz (U\setminus\{x\})\cap X\neq\varnothing.
Inclusão (A\cup B)'\subset A'\cup B'.
Seja x\in(A\cup B)'. Então, por definição, para toda vizinhança U de x temos
(U\setminus\{x\})\cap(A\cup B)\neq\varnothing.
Isto significa que em toda vizinhança de x existe algum ponto (diferente de x) que pertence a A ou pertence a B. Agora há dois casos:
Se para toda vizinhança U de x já temos (U\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing, então x\in A' e estamos feitos.
Caso contrário, existe uma vizinhança U_0 de x tal que (U_0\setminus\{x\})\cap A=\varnothing. Mas como x\in(A\cup B)', essa mesma vizinhança U_0 (e, na verdade, qualquer vizinhança menor contida em U_0) deve intersectar (A\cup B)\setminus\{x\}. Como dentro de U_0 não há pontos de A diferentes de x, a interseção só pode vir de B. Ou seja, para toda vizinhança V de x contida em U_0 temos (V\setminus\{x\})\cap B\neq\varnothing. Isso implica exatamente que x\in B'.
Assim, em qualquer caso x\in A' ou x\in B'. Portanto x\in A'\cup B'. Como x foi arbitrário em (A\cup B)', concluímos
(A\cup B)'\subset A'\cup B'.
Inclusão A'\cup B'\subset (A\cup B)'.
Se x\in A' então, por definição, toda vizinhança U de x satisfaz (U\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing. Mas então claramente (U\setminus\{x\})\cap(A\cup B)\neq\varnothing. Logo x\in(A\cup B)'. O mesmo raciocínio vale se x\in B'. Portanto A'\cup B'\subset (A\cup B)'.
Com as duas inclusões obtemos a igualdade desejada:
(A\cup B)'=A'\cup B'.
Passo 7
Observações finais e intuição rápida para lembrar na prova:
A primeira identidade do enunciado estava equivocada; a relação correta e padrão que você deve memorizar é
A identidade sobre conjuntos derivados é uma consequência da definição local (vizinhancas): um ponto é de acumulação da união se e somente se é de acumulação de pelo menos um dos conjuntos.
Força aí — a parte de fronteira/fecho/interior costuma confundir por causa de pontos de fronteira que podem não estar no conjunto. Lembre sempre: interior ⊂ A ⊂ closure, e boundary = closure \ interior.
Resposta
\overline{A}=\operatorname{int}(A)\cup\partial(A) e, em particular, A=\operatorname{int}(A)\cup\big(A\cap\partial(A)\big).\n(A\cup B)'=A'\cup B'.