O Conjunto dado é uma base para um subespaço W.Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal para W .
(1,-4,0,1),(7,-7,-4,1)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt à base
(1,-4,0,1),,(7,-7,-4,1)
do subespaço WsubsetR^4, usando o produto interno padrão, e assim obter uma base ortogonal de W.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor ortogonal como
u1 = v1 = (1,-4,0,1).

Passo 3

Para obter o segundo vetor ortogonal, calculamos a projeção de
v2=(7,-7,-4,1) sobre u1. Primeiro, os produtos internos:
lang<= u1,u1rang<= = 1^2 + (-4)^2 + 0^2 + 1^2 = 18,
lang<= v2,u1rang<= = 7cdot1 + (-7)cdot(-4) + (-4)cdot0 + 1cdot1 = 36
Então
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = 3618,(1,-4,0,1) = (2,-8,0,2)

Passo 4

Subtraindo essa projeção de v2 fica
u2 = v2 - proju1(v2) = (7,-7,-4,1)-(2,-8,0,2) = (5,1,-4,-1)
Podemos conferir a ortogonalidade:
lang<= u1,u2rang<= = 1cdot5 + (-4)cdot1 + 0cdot(-4) + 1cdot(-1) = 5 - 4 + 0 - 1 = 0

Resposta

A base ortogonal de W obtida pelo processo de Gram–Schmidt é
(1,-4,0,1),,(5,1,-4,-1)

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