Determine quais dos conjuntos de vetores são ortonormais, se um conjunto for apenas ortogonal, normalize os vetores para obter um conjunto ortonormal.
u=(0,1,0) e v=(0,-1,0)

Passo 1

O enunciado apresenta os vetores
u = (0,1,0) e v = (0,-1,0)
em R^3.
Queremos verificar se o conjunto u,v é ortogonal e/ou ortonormal. Para isso, usaremos o produto interno canônico e o cálculo de norma de um vetor.

Passo 2

Calcular o produto interno lang<= u,vrang<=.
lang<= u,vrang<= = 0cdot 0 + 1cdot(-1) + 0cdot 0 = -1
Como lang<= u,vrang<= neq 0, os vetores não são ortogonais.

Passo 3

Calcular as normas |u| e |v|.
|u| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1, |v| = raiz0^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1
Cada vetor tem norma unitária, mas isso por si só não garante ortogonalidade.

Passo 4

Para um conjunto ser ortonormal, precisamos de duas condições simultâneas:
  1. Vetores mutuamente ortogonais ( lang<= u,vrang<= = 0).
  2. Cada vetor de norma 1.
Aqui, embora |u|=|v|=1, temos lang<= u,vrang<= = -1neq0. Logo, u,v não é ortogonal nem ortonormal. Não faz sentido “normalizar” um conjunto que não é ortogonal, pois a normalização preserva a direção dos vetores e não corrige a falta de ortogonalidade.

Resposta

O conjunto u,v não é ortogonal e, portanto, não é ortonormal. Não é possível obter uma base ortonormal apenas normalizando esses vetores.

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