Determine quais dos conjuntos de vetores são ortonormais, se um conjunto for apenas ortogonal, normalize os vetores para obter um conjunto ortonormal.
Passo 1
O enunciado apresenta os vetores
em
.
Queremos verificar se o conjunto é ortogonal e/ou ortonormal. Para isso, usaremos o produto interno canônico e o cálculo de norma de um vetor.
Queremos verificar se o conjunto
Passo 2
Calcular o produto interno
.
Como
, os vetores não são ortogonais.
Passo 3
Calcular as normas
e
.
Cada vetor tem norma unitária, mas isso por si só não garante ortogonalidade.
Passo 4
Para um conjunto ser ortonormal, precisamos de duas condições simultâneas:
- Vetores mutuamente ortogonais (
). - Cada vetor de norma 1.
Aqui, embora
, temos
. Logo,
não é ortogonal nem ortonormal. Não faz sentido “normalizar” um conjunto que não é ortogonal, pois a normalização preserva a direção dos vetores e não corrige a falta de ortogonalidade.
Resposta
O conjunto
não é ortogonal e, portanto, não é ortonormal. Não é possível obter uma base ortonormal apenas normalizando esses vetores.