O Conjunto dado é uma base para um subespaço W.Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal para W .
(2,-5,1),(4,-1,2)

Passo 1

O enunciado nos dá uma base (2,-5,1),(4,-1,2) de um subespaço WsubseteqR^3 e pede uma base ortogonal usando o processo de Gram–Schmidt. Vamos usar o produto interno usual em R^3 e a definição de projeção.

Passo 2

Definimos
u1 = (2,-5,1).
Esse será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.

Passo 3

Agora calculamos a projeção de
v2 = (4,-1,2)
sobre u1 via
proju1(v2) = v2cdotu1u1cdotu1,u1
Aqui
v2cdotu1 = 4cdot2 + (-1)cdot(-5) + 2cdot1 = 15
e
u1cdotu1 = 2^2 + (-5)^2 + 1^2 = 30.
Logo
proju1(v2) = 1530,u1 = tfrac12,u1

Passo 4

Subtraímos essa projeção de v2 para obter
u2 = v2 - tfrac12,u1 = (4,-1,2) - l(1,-tfrac52,tfrac12r) = l(3,tfrac32,tfrac32r)
Como qualquer múltiplo não nulo de u2 também é ortogonal a u1, podemos multiplicar por 2 e escolher
u2=(2,1,1)
para simplificar.

Resposta

Uma base ortogonal para W é
, (2,-5,1),;(2,1,1)

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