Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(a) T: & R^3 (x, y, z) & R^2 & mapsto(-2 x+3 y+z, 6 x+y+2 z)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z)=(-2x+3y+z,;6x+y+2z)
Queremos encontrar o núcleo ker(T), a imagem Im(T) e dizer se T é injetora, sobrejetora e/ou inversível. Vamos usar a matriz associada e o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity).

Passo 2

A matriz de T nas bases canônicas é
A = -2 & 3 & 1 6 & 1 & 2
Por definição,
ker(T)=(x,y,z)inR^3 mid A,(x,y,z)^T=(0,0)^T,
Im(T)=spancolunas de A

Passo 3

Para achar
Da primeira equação vem . Assim

Passo 4

As colunas de A são
v1=(-2,6), v2=(3,1), v3=(1,2)
Basta ver que v1 e v2 são linearmente independentes (determinante -2cdot1-6cdot3neq0), logo dimIm(T)=2. Como o codomínio é R^2, segue
Im(T)=R^2
Um possível conjunto gerador (base) é v1,v2.

Passo 5

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
dimker(T)+dimIm(T)=3,
de fato 1+2=3.
  • T é injetora se e somente se ker(T)=0, mas aqui ker(T) é gerado por (1,2,-4)neq0, logo não é injetora.
  • T é sobrejetora porque Im(T)=R^2.
  • Como não é bijetora, não é inversível.

Resposta

ker(T)=span(1,2,-4) Im(T)=R^2 T não é injetora; é sobrejetora; não é inversível.

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