Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(a)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos encontrar o núcleo , a imagem e dizer se é injetora, sobrejetora e/ou inversível. Vamos usar a matriz associada e o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity).
Passo 2
A matriz de nas bases canônicas é
Por definição,
ker(T)=(x,y,z)inR^3 mid A,(x,y,z)^T=(0,0)^T,
Im(T)=spancolunas de A
Passo 3
Para achar
Da primeira equação vem . Assim
Passo 4
As colunas de A são
v1=(-2,6), v2=(3,1), v3=(1,2)
Basta ver que v1 e v2 são linearmente independentes (determinante -2cdot1-6cdot3neq0), logo dimIm(T)=2. Como o codomínio é R^2, segue
Im(T)=R^2
Um possível conjunto gerador (base) é v1,v2.
Passo 5
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
dimker(T)+dimIm(T)=3,
de fato 1+2=3.
T é injetora se e somente se ker(T)=0, mas aqui ker(T) é gerado por (1,2,-4)neq0, logo não é injetora.
T é sobrejetora porque Im(T)=R^2.
Como não é bijetora, não é inversível.
Resposta
ker(T)=span(1,2,-4) Im(T)=R^2 T não é injetora; é sobrejetora; não é inversível.