Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(b)
Passo 1
O enunciado pede o núcleo e a imagem da transformação linear
além de verificar se é injetora, sobrejetora e invertível. Vamos usar a representação matricial de na base canônica, resolver o sistema para o núcleo e usar o Teorema do Núcleo e da Imagem para obter a dimensão da imagem e, em seguida, uma base para ela.
Passo 2
Em coordenadas canônicas,
de modo que é o espaço solução de
Isso dá o sistema
cuja única condição é .
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
dimker(T)+dimIm(T)=3,
logo
dimIm(T)=3-1=2
Isso confirma que a imagem de T é um subespaço de dimensão 2 em R^3.
Passo 4
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas de :
Observamos que , então duas colunas são suficientes para gerar toda a imagem. Uma base é . Assim
Alternativamente, pode-se verificar que todo satisfaz
de modo que
Passo 5
Como ker(T)neq0, T não é injetora.
Como dimIm(T)=2<3, T não é sobrejetora.
Logo, T também não é invertível (pois não é bijetora).
Resposta
não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é invertível.