Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(b) T: & R^3 (x, y, z) & mapsto(x-z, y-z, x-y)

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem da transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-z,;y-z,;x-y),
além de verificar se T é injetora, sobrejetora e invertível. Vamos usar a representação matricial de T na base canônica, resolver o sistema T(x,y,z)=0 para o núcleo e usar o Teorema do Núcleo e da Imagem para obter a dimensão da imagem e, em seguida, uma base para ela.

Passo 2

Em coordenadas canônicas,
de modo que é o espaço solução de
Isso dá o sistema
cuja única condição é .

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
dimker(T)+dimIm(T)=3,
logo
dimIm(T)=3-1=2
Isso confirma que a imagem de T é um subespaço de dimensão 2 em R^3.

Passo 4

A imagem de é o espaço gerado pelas colunas de :
Observamos que , então duas colunas são suficientes para gerar toda a imagem. Uma base é . Assim
Alternativamente, pode-se verificar que todo satisfaz
de modo que

Passo 5

  • Como ker(T)neq0, T não é injetora.
  • Como dimIm(T)=2<3, T não é sobrejetora.
  • Logo, T também não é invertível (pois não é bijetora).

Resposta


não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é invertível.

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