O conjunto dado junto com as operações não é um espaço vetorial. Liste as propriedades da definição que não são satisfeitas.
O conjunto dos números reais positivos com as operações
como a soma comum e
como a multiplicação comum.
O conjunto dos números reais positivos com as operações
Passo 1
O enunciado fala do conjunto
com as operações
definida como soma usual e
como multiplicação usual.
O conteúdo é a definição de espaço vetorial sobre o corpo : precisamos verificar todas as propriedades (fechamento, existência de neutro e inverso aditivo, fechamento e leis de multiplicação escalar etc.).
com as operações
O conteúdo é a definição de espaço vetorial sobre o corpo
Passo 2
Verificamos primeiro os axiomas de adição:
– Fechamento: se então
. OK.
– Comutatividade e associatividade: valem pois são as da soma real usual.
– Fechamento: se
– Comutatividade e associatividade: valem pois são as da soma real usual.
Passo 3
A existência do elemento neutro aditivo exige um
tal que, para todo
,
O candidato é
, mas
. Logo não existe neutro aditivo em
.
Passo 4
A existência de inversos aditivos pede que, para todo
, haja
com
O inverso usual seria
, mas
, ou seja, não pertence a
. Portanto não há inverso aditivo em
.
Passo 5
O fechamento sob multiplicação escalar exige que, para todo
e
,
Se
então
. Se
então
. Assim falta fechamento para
.
Resposta
As propriedades da definição de espaço vetorial que não são satisfeitas em
com as operações usuais são:
- inexistência do elemento neutro aditivo;
- inexistência de inversos aditivos;
- falha de fechamento da multiplicação escalar para
.