O conjunto dado junto com as operações não é um espaço vetorial. Liste as propriedades da definição que não são satisfeitas.
O conjunto dos números reais positivos com as operações oplus como a soma comum e odot como a multiplicação comum.

Passo 1

O enunciado fala do conjunto
V = R^+ =xinRmid x>0
com as operações
oplus definida como soma usual e odot como multiplicação usual.
O conteúdo é a definição de espaço vetorial sobre o corpo R: precisamos verificar todas as propriedades (fechamento, existência de neutro e inverso aditivo, fechamento e leis de multiplicação escalar etc.).

Passo 2

Verificamos primeiro os axiomas de adição:
– Fechamento: se a,b>0 então aoplus b = a+b>0. OK.
– Comutatividade e associatividade: valem pois são as da soma real usual.

Passo 3

A existência do elemento neutro aditivo exige um 0Vin V tal que, para todo vin V,
v oplus 0V = v
O candidato é 0, mas 0notinR^+. Logo não existe neutro aditivo em V.

Passo 4

A existência de inversos aditivos pede que, para todo vin V, haja v'in V com
voplus v' = 0V
O inverso usual seria -v, mas -v<0, ou seja, não pertence a R^+. Portanto não há inverso aditivo em V.

Passo 5

O fechamento sob multiplicação escalar exige que, para todo alphainR e v>0,
alpha odot v = alpha v ;in; V
Se alpha=0 então alpha v=0notinR^+. Se alpha<0 então alpha v<0notinR^+. Assim falta fechamento para alpha<=0.

Resposta

As propriedades da definição de espaço vetorial que não são satisfeitas em R^+ com as operações usuais são:
  1. inexistência do elemento neutro aditivo;
  2. inexistência de inversos aditivos;
  3. falha de fechamento da multiplicação escalar para alpha<=0.

Exercícios relacionados