O conjunto dado junto com as operações não é um espaço vetorial. Liste as propriedades da definição que não são satisfeitas.
O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as operações
e
O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as operações
Passo 1
O enunciado define em
a soma
e a multiplicação por escalar
Queremos verificar quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos.
Passo 2
Lembremos o axioma de distributividade da soma de escalares sobre o produto escalar: para todo
e todo
deve valer
Passo 3
Tomando
, calculamos:
enquanto
logo
Para que
precisaria
, o que só ocorre se
. Portanto a distributividade
falha em geral.
Passo 4
Dessa falha no axioma acima também decorrem contradições com propriedades clássicas derivadas de espaço vetorial, por exemplo:
-
deveria ser o vetor nulo , mas não é salvo quando . -
deveria coincidir com o inverso aditivo , mas só bate se .
Resposta
As propriedades da definição de espaço vetorial que não são satisfeitas são:
- Distributividade da soma de escalares:
. - Propriedade do escalar zero:
. - Propriedade do escalar
: .