O conjunto dado junto com as operações não é um espaço vetorial. Liste as propriedades da definição que não são satisfeitas.
O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as operações
(x, y) oplus(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime)
e
r odot(x, y)=(x, r y)

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a soma
(x,y)oplus(x',y')=(x+x',,y+y')
e a multiplicação por escalar
rodot(x,y)=(x,,r,y)
Queremos verificar quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos.

Passo 2

Lembremos o axioma de distributividade da soma de escalares sobre o produto escalar: para todo r,sinR e todo vin V deve valer
(r+s)odot v ;=; rodot v;oplus;sodot v

Passo 3

Tomando v=(x,y), calculamos:
(r+s)odot(x,y)=(x,,(r+s),y)=(x,,r,y+s,y),
enquanto
rodot(x,y)=(x,,r,y), sodot(x,y)=(x,,s,y),
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rodot(x,y)oplus sodot(x,y)=(x+x,;r,y+s,y)=(2x,;r,y+s,y)
Para que (x,,r,y+s,y)=(2x,,r,y+s,y) precisaria x=2x, o que só ocorre se x=0. Portanto a distributividade
(r+s)odot v = rodot v oplus sodot v
falha em geral.

Passo 4

Dessa falha no axioma acima também decorrem contradições com propriedades clássicas derivadas de espaço vetorial, por exemplo:
  • 0odot(x,y)=(x,0) deveria ser o vetor nulo (0,0), mas não é salvo quando x=0.
  • (-1)odot(x,y)=(x,-y) deveria coincidir com o inverso aditivo (-x,-y), mas só bate se x=0.

Resposta

As propriedades da definição de espaço vetorial que não são satisfeitas são:
  1. Distributividade da soma de escalares: (r+s)odot v = rodot v oplus sodot v.
  2. Propriedade do escalar zero: 0odot v = 0V.
  3. Propriedade do escalar -1: (-1)odot v = -v.

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