Representação gráfica de parábolas no plano
Parábola com vértice na origem O(0,0) e eixo dos x ou eixo dos y como eixo de simetria (eixo da parábola): Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar foco, vértice, reta diretriz, eixo da parábola e construir o gráfico.
y^2=-2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a equação de uma parábola dada por y^2 = -2x . Nosso objetivo é colocar essa equação na forma padrão das parábolas, identificar características importantes como o vértice, foco, reta diretriz e o eixo da parábola, e por fim, fazer o gráfico dessa parábola.
Matéria envolvida: Geometria Analítica, especificamente o estudo das parábolas no plano cartesiano.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre a forma canônica das equações das parábolas, identificação de seus elementos principais e habilidades básicas de manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a forma canônica de uma parábola. Existem duas formas principais, dependendo da orientação da parábola:
  1. Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y :
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Neste caso, o vértice está no ponto (h, k) , o foco fica a uma distância p à direita do vértice se p > 0 ou à esquerda se p < 0 , e a reta diretriz é uma linha vertical.
  1. Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos x :
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, o vértice também é (h, k) , o foco está acima do vértice se p > 0 ou abaixo se p < 0 , e a reta diretriz é uma linha horizontal.
No nosso caso, a equação dada é y^2 = -2x . Podemos compará-la com a primeira forma canônica para identificar os elementos da parábola.

Passo 3

Vamos reescrever a equação y^2 = -2x na forma canônica:
y^2 = -2x Rightarrow y^2 = 4p(x - h)
Comparando os dois lados:
4p = -2 Rightarrow p = -24 = -12
h = 0 (já que não há termo constante em x) áãá
k = 0 (já que não há termo constante em y) áãá
Então, o vértice (h, k) está na origem (0, 0) .

Passo 4

Agora que sabemos que p = -12 , podemos identificar o foco e a reta diretriz:
  • Foco: Como p é negativo e a parábola está aberta para a esquerda (devido ao sinal negativo), o foco estará a uma distância p à esquerda do vértice.
Foco , (h + p, k) = (0 - 12, 0) = (-12, 0)
  • Reta Diretriz: A reta diretriz será uma linha vertical localizada a uma distância |p| à direita do vértice.
x = h - p = 0 - (-12) = 12
Eixo da parábola: Para parábolas na forma y^2 = 4p(x - h) , o eixo de simetria é o eixo y .

Passo 5

Agora que identificamos todos os elementos principais da parábola, vamos resumir:
  • Vértice: (0, 0)
  • Foco: (-12, 0)
  • Reta Diretriz: x = 12
  • Eixo da Parábola: Eixo y

Passo 6

Por fim, para construir o gráfico da parábola y^2 = -2x :
  1. Marque o vértice na origem (0, 0) .
  2. Plote o foco em (-12, 0) .
  3. Desenhe a reta diretriz como uma linha vertical em x = 12 .
  4. Esboce a parábola, lembrando que ela está aberta para a esquerda devido ao coeficiente negativo de x . A parábola será simétrica em relação ao eixo y .

Resposta

A parábola y^2 = -2x possui vértice na origem (0, 0) , foco em (-12, 0) , reta diretriz x = 12 e seu eixo de simetria é o eixo y . O gráfico dessa parábola está aberto para a esquerda, simétrico em relação ao eixo y .

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