Seja o conjunto de todos os vetores em R^2 com elementos inteiros tais que |v1+v2| é par. Por exemplo,
[l 2 4 ], [c 0 -8 ], [l 3 5 ] e [l 0 0 ]
todos pertencem a V. Seja a operação oplus a soma de matrizes padrão e odot a multiplicação de matrizes por escalas padrão. V é um espaço vetorial? Explique.
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalares em . Queremos ver se é um subespaço vetorial de , isto é, se satisfaz os axiomas de subespaço (não vazio, fechado em soma e multiplicação por qualquer escalar real).
Passo 2
Verificamos primeiro que V não é vazio: o vetor nulo 00
pertence a V, pois 0+0=0 é par.
Passo 3
Checamos fechamento em soma: se u,vin V, então u1+u2 e v1+v2 são pares, logo
(u1+v1)+(u2+v2) = (u1+u2) + (v1+v2)
é soma de dois pares, o que dá par. Além disso, ui+vi continua inteiro, então u+vin V.
Também o inverso aditivo de v é -v =(-v1,-v2), e -v1 +(-v2)=-(v1+v2) que é par sempre que v1+v2 for par, mantendo fechamento.
Passo 4
O ponto crítico é a multiplicação por escalares em R. Se alphainR não for inteiro, alphav terá coordenadas alpha v1,alpha v2 que, em geral, não são inteiras, logo saem de V. Por exemplo, tome
v = 20in V (pois (2+0=2) é par), é
mas para alpha=tfrac12 temos
tfrac12,v = 10,
e 1+0=1 não é par, logo tfrac12,vnotin V. Falha, pois não há fechamento sob multiplicação por escalares reais.
Resposta
V não é um espaço vetorial sobre R, pois não é fechado sob multiplicação por escalares não inteiros.