O conjunto dado junto com as operações não é um espaço vetorial. Liste as propriedades da definição que não são satisfeitas.
O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as operações
e
O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as operações
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a soma usual
e a multiplicação por escalar “deformada”
para todo
e
. Para checar se
é um espaço vetorial sobre
, precisamos verificar que
.
é um grupo abeliano;
. a multiplicação por escalar satisfaz as
propriedades de compatibilidade (distributividades e associatividade) e ainda
. a existência do escalar neutro
tal que
para todo
.
Passo 2
Verificamos rapidamente que
é um grupo abeliano:
- Fechamento, comutatividade e associatividade decorrem da soma em
. - Elemento neutro aditivo é
. - Inverso aditivo de
é .
Passo 3
Agora as propriedades da multiplicação por escalar:
. Fechamento:
; ok.
. Distributividade em relação à soma de vetores:
e
logo coincide; ok.
. Distributividade em relação à soma de escalares:
ok.
. Compatibilidade com produto de escalares:
ok.
Passo 4
Por fim, a propriedade do elemento neutro escalar exige
Mas aqui
Então falha o axioma do escalar-um.
Resposta
A única propriedade da definição de espaço vetorial que não é satisfeita é
a existência do escalar neutro, i.e.,
já que aqui
para
.