O conjunto dado junto com as operações não é um espaço vetorial. Liste as propriedades da definição que não são satisfeitas.
O conjunto de todos os pares ordenados de números reais com as operações
(x, y) oplus(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime)
e
r odot(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define o conjunto V = R^2 com a soma usual
(x,y)oplus(x',y') = (x+x',,y+y')
e a multiplicação por escalar “deformada”
rodot(x,y) = (0,0)
para todo rinR e (x,y)in V. Para checar se V é um espaço vetorial sobre R, precisamos verificar que
1. (V,oplus) é um grupo abeliano;
2. a multiplicação por escalar satisfaz as 4 propriedades de compatibilidade (distributividades e associatividade) e ainda
3. a existência do escalar neutro 1 tal que 1odot v = v para todo vin V.

Passo 2

Verificamos rapidamente que (V,oplus) é um grupo abeliano:
  • Fechamento, comutatividade e associatividade decorrem da soma em R^2.
  • Elemento neutro aditivo é (0,0).
  • Inverso aditivo de (x,y) é (-x,-y).

Passo 3

Agora as propriedades da multiplicação por escalar:
1. Fechamento: rodot(x,y)=(0,0)in V; ok.
2. Distributividade em relação à soma de vetores:
rodotl((x,y)oplus(x',y')r) = rodot(x+x',,y+y')=(0,0)
e
rodot(x,y)oplus rodot(x',y')=(0,0)oplus(0,0)=(0,0),
logo coincide; ok.
3. Distributividade em relação à soma de escalares:
(r+s)odot(x,y)=(0,0) e rodot(x,y)oplus sodot(x,y)=(0,0)oplus(0,0)=(0,0),
ok.
4. Compatibilidade com produto de escalares:
rodotl(sodot(x,y)r) = rodot(0,0)=(0,0) e (rs)odot(x,y)=(0,0),
ok.

Passo 4

Por fim, a propriedade do elemento neutro escalar exige
1odot(x,y)=(x,y) para todo ((x,y))
Mas aqui
1odot(x,y)=(0,0)neq(x,y) sempre que ((x,y)neq(0,0))
Então falha o axioma do escalar-um.

Resposta

A única propriedade da definição de espaço vetorial que não é satisfeita é
bul<=t a existência do escalar neutro, i.e.,
1odot v = v,
já que aqui 1odot(x,y)=(0,0)neq(x,y) para (x,y)neq(0,0).

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