Determinar se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço.
V=C[-1,1];
H=f in C[-1,1] mid integral-1^1 f(x) d x=0

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V = C[-1,1] de todas as funções contínuas em [-1,1] com operações usuais e o subconjunto
H = lf in C[-1,1]m|integral-1^1 f(x),dx = 0r
O conteúdo é mostrar que H é subespaço de V. Para isso usamos o critério padrão:
  1. H não pode ser vazio (deve conter a função zero).
  2. H deve ser fechado sob soma.
  3. H deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que H não é vazio exibindo a função nula
f0(x) = 0, xin[-1,1]
Como f0in C[-1,1] e
integral-1^1 f0(x),dx = integral-1^1 0,dx = 0,
segue f0in H.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam f,gin H. Então f+gin C[-1,1] e
integral-1^1 l(f(x)+g(x)r),dx = integral-1^1 f(x),dx + integral-1^1 g(x),dx = 0 + 0 = 0
Logo f+gin H.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja fin H e alphainR. Então alpha fin C[-1,1] e
integral-1^1 alpha,f(x),dx = alpha integral-1^1 f(x),dx = alphacdot 0 = 0
Logo alpha fin H.

Passo 5

Como H contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que H é subespaço de V.

Resposta

H é subespaço vetorial de C[-1,1].

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