Considere os vetores de R^3, u=[c1 1 -2], v=[l3 0 4]. Determine qual dos seguintes vetores é combin ação linear de u e v:
w2^top=[c3 1 -4]

Passo 1

O enunciado dá os vetores de R^3
u = 11-2, v = 304
e pede para verificar se
w2 = 31-4
é combinação linear de u e v. Vamos usar o fato de que isso equivale a resolver um sistema para os escalares alpha e beta tais que alpha u + beta v = w2.

Passo 2

Escrevendo alpha u + beta v = w2 em coordenadas, obtemos o sistema
alpha + 3beta = 3, alpha + 0beta = 1, -2alpha + 4beta = -4

Passo 3

Da segunda equação segue diretamente
alpha = 1

Passo 4

Substituindo alpha=1 na primeira equação,
1 + 3beta = 3 Longrightarrow 3beta = 2 Longrightarrow beta = tfrac23

Passo 5

Verificamos a terceira equação com alpha=1 e beta=tfrac23:
-2cdot 1 + 4cdot tfrac23 = -2 + tfrac83 = tfrac-6+83 = tfrac23 neq -4
Há inconsistência, logo não existem alpha,beta que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Resposta

O vetor w2 não é combinação linear de u e v.

Exercícios relacionados